30/03/2025 15:57

Музей древностей

Недавно история была. В трамвае некий юнош обнаружил, что забыл кошелек с картами, а чипа NFC у него на телефоне нет, заплатить не может. Просит купить ему билет, а он мне через СБП переведет сумму.
 
Я бы рад, но у меня банковских карт тоже нет, а на iPhone заблокирован ApplePay. Сам еду по месячному проездному, по которому другого человека не провезти. 
 
Но тут я вспомнил, что у меня есть наличные! Он мне перевел 35 руб. на счет, я отдал ему стольник, по которому он купил у водителя билет, а мне вернул сдачу.
 
Без древних технологий не получается!
Tags:
19/01/2025 14:40

О точности вычислений в школе

Продолжаю серию постов по итогам регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по астрономии (где я нынче был председателем жюри в Удмуртии).

Для учащихся 7-8 классов всероссийская олимпиада не проводится. Вместо этого для них придумали некую Олимпиаду им. В.Я. Струве. В этом году там была задача - №4 для 7 класса, - прекрасно иллюстрирующая тезис, который я неустанно продвигаю среди учеников. Все участники олимпиад умеют пользоваться калькулятором, но очень мало кто понимает точность результата. Поэтому чаще всего дети выписывают в решении все цифры, которые видят на экране калькулятора. Если бы критерии оценки разрабатывал я, то непременно потребовал бы снимать баллы за избыточную точность. И вот задача

На одной картинке из интернета было указано:

    Скорость света: 299792458 м/с.
    Координаты Великой пирамиды Гизы: 29.9792458◦ c.ш.

И ведь действительно, указанная параллель проходит через пирамиду Хеопса!
Вычислите, насколько различаются широты северного и южного краёв пирамиды.
Основание пирамиды представляет собой квадрат со сторонами длиной 230 метров,
ориентированными по сторонам света.
Выразите ответ в градусах.

Решение приводит к тому, что пирамида имеет протяженность 0,002° вдоль меридиана. Следовательно, указывать в её широту аж 7 значащих цифр нет никакого смысла.
Tags:
18/01/2025 12:53

Мы приняли, и ты прими

Мне всегда была удивительна религиозное поклонение физиков гауссовой системе единиц. Это та, где некоторые величины измеряются в СГСЭ, некоторые в СГСМ, и одни и те же имеют разную размерность для Э и М. Я еще помню дискуссию, когда автор известного учебника общей физики Сивухин поносил систему СИ всякими грязными словами. Но внимательно изучив его аргументы (большей частью он толковал про напряженность и индукцию в уравнениях Максвелла) я понял, что все они сводятся к одному: я так привык, поэтому вам не позволю иначе!

Меня в университете тоже 70-летние деды убеждали, что измерять массы галактик граммами, а расстояние между ними сантиметрами гораздо удобнее, чем соответственно килограммами и метрами, а их в свое время в том же убеждали другие 70-летние деды. И еще в законе Кулона букв меньше. И писать "СГСЭ-ед. зар." намного проще, чем "Кл" и т.д. А еще удобнее принять такую систему единиц, где все мировые константы равны единице, и плевать, что такое невозможно, зато букв писать меньше. Поэтому в работах некоего Тутукова, например, постоянно встречались выражения типа , где m - масса, а  a - расстояние. На самом деле, где-то там должен быть размерный коэффициент, но так как все мировые константы равны единице, то...

И так было прекрасно! Неожиданные сложности возникали только на стыке теории и практики, т.е. почти никогда. Выяснялось, что тупые инженеры не понимали, чем нужно мерять в данном теоретическом случае, и градуировали приборы по своему. Теоретику приходилось мучительно вспоминать, что он там приравнял единице, и какие множители выкинул, чтобы короче писать.

А вспомнил я об этом 16 января, когда проверял работы участников регионального тура Всероссийской олимпиады школьников по астрономии. Задания с решениями можно посмотреть здесь. В задаче №6 для 11 класса (автор - М.В. Костина) написано "В астрономии принято пользоваться гауссовой системой единиц". Хорошо, что нет такого Самого Главного Астронома, который приказал бы всем принять одну определенную систему единиц. В задаче используется формула для задержки радиосигнала из-за дисперсии в плазме (школьникам нужно просто принять её как данность):



Она есть в разных справочниках, в частности, в энциклопедии "Физика космоса", но вряд ли кто-то может показать, как она выводится. Формула записана в системе СГСЭ. Поскольку в школе давно отказались от СГС, автору задачи пришлось пояснить, что это за система, и дать значения таких констант, как масса и заряд электрона - e и m_e в формуле.

Я подумал, что можно было бы не грузить детей некими "общепринятыми" системами единиц, а использовать ту, к которой они привыкли. Тем более, что в СИ формула выглядит не сильно сложнее - добавляется только электрическая постоянная



А если от обычных частот перейти к циклическим, то на одну букву меньше ))).



Tags:
15/01/2025 19:35

Задача на построение

Готов обещанный разбор задачи на построение из школьного учебника по геометрии. Задача звучит так.

Даны угол и точка. Как провести через эту точку прямую, чтобы она отсекала от данного угла треугольник с данным периметром?

Если решать её на том максимальном уровне строгости, который виделся Погорелов при написании учебника, нужно говорить долго-долго. В первую очередь, не при всяком положении точки решение возможно, особенно если точка внутри угла (а что такое "внутри угла"?). Поэтому  массу деталей пришлось опустить, и все равно получилось очень долго. Я находил на Ютубе видео с решением буквально на 3 минуты. Конечно, если понимать геометрию как набор картинок, то так тоже можно.


Tags:
12/12/2024 11:02

О "математической строгости" в школьном курсе геометрии и одном заблуждении Александра Шеня

Случайно купил у букинистов и с большим интересом прочитал брошюру А. Шеня "О "математической строгости" в школьном курсе математики" [1]. Ранее я уже был знаком с книгой того же автора "Программирование: теоремы и задачи", и его подход мне очень понравился. В данной же брошюре Шень ставит вечный вопрос о соотношении строгости и "очевидности" в школьном курсе математики и в очередной раз констатирует отсутствие на него ответа. Захотелось дать некоторые комментарии к разделу 4 "Аксиомы связи".
 
Но начну издалека. Попытка привнести в школьный курс геометрии аксиоматический подход предпринята, кажется, впервые А.Н. Колмогоровым, дело которого продолжил А.В. Погорелов. На последнего, почему-то, и обрушился шквал уничтожающей критики. Оппоненты не стеснялись в выражениях и выражали недоумение, как такой ужасающий учебник мог так долго продержаться в школьной программе (см., например, [2]). Кстати, учебник Погорелова, появившийся в 1982 году, переиздается до сих пор (с существенными, однако, изменениями), последнее издание, которое я читал, вышло в 2022 году. Про столь же непримиримую критику Колмогорова мне ничего неизвестно. Возможно, дело в том, что Колмогоров - знаменитый академик, а Погорелов - никому не ведомый "выскочка" из Харькова. Интересно, что прочие учебники, например Атанасяна и др., в которых аксиоматика заменена картинками, никто критиковать даже не думает. Ну, если авторы ничего не утверждают, то за что их ругать?
 
Вернемся к Погорелову. Прежде чем появился школьный учебник, были другие его книги, предназначенные для любознательных школьников. В моей библиотеке есть книга [3], на первое издание которой ссылается А. Шень. Что же до школьного учебника, то Шень пользуется изданием 1985, в то время как в моем распоряжении есть только 1983 (по которому, кстати, я учился в школе) [4]. Надеюсь, они отличаются несущественно.
 
Итак, в своих учебниках А.В. Погорелов отталкивается от придуманной им системы аксиом, которые отличаются от всем известных аксиом Гильберта [5]. В книге [3] группа аксиом расположения точек на прямой и плоскости выглядит так:
 
II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II₂. Точка, лежащая на прямой, разбивает прямую на две полупрямые. Точки одной полупрямой не разделяются точкой, производящей деление. Точки разных полупрямых разделяются этой точкой.
II₃. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.
 
В предшествующем тексте термин "разделяются точкой" сводится к термину "лежат по разные стороны", который выводится из "лежит между", так что здесь нет логического пробела.
 
Похвалив мастерство Погорелова, который придумал аксиомы более понятные школьникам, чем аналогичного назначения аксиомы Гильберта, Шень дает на их основе решение некоторых предложенных Погореловым задач. Вот одно из них. Погорелов определяет понятие "проходит между" для луча и сторон угла следующим образом: луч проходит между сторонами угла, если он пересекает некоторый отрезок с концами на сторонах угла. Но такое определение некорректно. В самом деле, допустим луч не пересекает данный отрезок с концами на сторонах угла. Можно ли утверждать, что этот луч не проходит между сторонами угла? Нет, нельзя. Ведь для того, чтобы он проходил по определению достаточно, чтобы нашелся какой-нибудь отрезок, пересекаемый лучом. Совсем необязательно это будет данный нам отрезок. Как же выяснять свойство прохождения? Нельзя же перебрать весь континуум отрезков! Некорректность снимается теоремой, которую Погорелов не доказывает, а предлагает доказать читателю в качестве упражнения (задача 18 на с. 28 в [3]). Теорема эта утверждает, что если луч пересекает некоторый отрезок с концами на сторонах угла, то он пересекает и любой другой отрезок с концами на сторонах угла. Впрочем, в другой своей книге [6] Погорелов эту теорему всё же доказывает сам - глава XIV, §4.
 
И здесь Шень проявляет завидную скрупулезность. Он отмечает, что авторское доказательство имеет изъян: доказано лишь, что прямая, содержащая данный луч, пересекает любой отрезок. Но неясно, производится пересечение данным лучом, или же дополнительным к нему? Погорелов не ставит такой вопрос и не отвечает на него, а Шень в [1], с. 15, дает возможное доказательство этого утверждения. Не буду скрывать, я тоже в свое время обратил на это внимание и даже нашел прямое, а не "от противного", доказательство.
 
Какие же претензии могут быть к Шеню? Дело в том, что Шень приводит эту теорему как пример деградации учебника в последующих изданиях. Именно, он утверждает, что в новых изданиях от детального обоснования взаимного расположения точек и прямых остались лишь рожки да ножки. Например, в издании 1986 года отсутствует аксиома II₂, а II₃ сформулирована куда короче: прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. А раз II₂ выброшена, то, по мнению Шеня, определение полупрямой лишено смысла.
 
Но так ли это? Действительно, в школьных учебниках, в отличие от книги [3], система аксиом взаимного расположения выглядит иначе. У меня нет издания 1986 года, но в [4] вторая группа основных свойств такова:
 
II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
 
В издании 2022 года [7] просто изменена нумерация:
 
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
 
Шень прав? Нет. Учебник не деградировал, он усложнился. Тот факт, что точка прямой делит прямую на две полупрямые, не нужно формулировать как аксиому, потому что его можно доказать. Именно за такой подход Шень хвалил Погорелова, когда обсуждал луч, проходящий между сторонами угла. А для доказательства как раз используется новая аксиома II₂ (IV) о разбиении плоскости на две полуплоскости. Погорелова здесь можно упрекнуть лишь в том, что такое доказательство явно не проводится. В издании 1983 года [4] на него нет даже намека, а позже - не могу сказать, когда именно - появляется доказательство транзитивности отношения "лежит по одну сторону", необходимое для корректного определения полупрямой. В [7] это доказательство имеется - задача 20 к §1, решенная в тексте. Есть у Погорелова и еще одно упущение, но оно уже совсем тонкое, вряд ли доступное школьникам. Из аксиом групп I и II можно вывести тот факт, что полупрямых с началом в данной точке не более двух. Чтобы доказать, что их ровно две, нужно свойство откладывания отрезков IV₁ (VI). На это обратил внимание А.Д. Александров в 1985 г. [8].
 
То, что формулировка новой аксиомы II₂ стала короче, тоже не проблема. Просто автор вынес объяснение смысла термина "разбивает" в предшествующий текст. Ученики плохих учителей, заставляющих зубрить формулировки дословно, должны быть благодарны Погорелову за это.
 
Совсем ничего не деградировало и в случае с лучом, проходящим между сторонами угла. Как и в книге [3] автор по-прежнему возлагает бремя доказательства на учащегося. В [4] это задача 23 к §2, а в [7] - задача 49 к §1.
 
Любопытно отметить, что в вузовском учебнике [6] отсутствует аксиома откладывания углов, которая в книге [4] выглядит так:
 
IV₂. Каково бы ни было положительное число n, меньшее 180, от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить и притом только один угол, равный n градусам.
 
В [4] аналогичное утверждение имеет также номер IV₂, а [7] - VII. Почему его нет в [6]? Деградация? Опять нет. Причина та же, что и с аксимой II₂ из [3] - это утверждение можно доказать. Правда, для доказательства нужно отождествить точки на прямой с вещественными числами (с помощью аксиом измерения и откладывания отрезка заданной длины), а затем использовать понятие точной верхней грани и её существование для ограниченного сверху подмножества вещественных чисел, что далеко выходит за пределы школьной математики.
 
И все же, некоторое упрощения учебника Погорелова с годами прослеживается. Только не в том смысле, как писал Шень. Из новых изданий пропадают наиболее сложные задачи, а некоторые другие упрощаются. Скажем, исчезла весьма интересная задача о построении прямой, которая отсекает от угла треугольник заданного периметра. В задачах о медианах треугольника, которые пересекаются в одной точке (а также об аналогичных свойствах биссектрис, высот и серединных перпендикуляров) больше не требуется доказывать тот факт, что они вообще пересекаются. На мой взгляд, с педагогической точки зрения лучше не выкидывать сложные задачи, а отнести их в дополнительные главы, необязательные для изучения, и дать к ним подробные решения.
 
 
Литература
 
1. Шень А. О «математической строгости» в школьном курсе математики. – М.: МЦНМО, 2006. – 72 с. (https://www.lirmm.fr/~ashen/rigor.pdf)
2. Винберг Э.Б. О концепции учебника геометрии А.В.Погорелова // Математическое просвещение. Третья серия, вып.19. — М.: МЦНМО, 2015. С. 199-205. (https://old.mccme.ru/free-books/matpros/pdf/mp-19.pdf).
3. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. - 2-е изд., стереотип. – М.: Наука, 1974. – 208 с.
4. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 кл. средней школы. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1983. – 288 с.
5. Гильберт Д. Основания геометрии / Перевод с 7-го немецкого издания. – М.-Л.: ОГИЗ, 1948. – 492 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд. - М.: Наука, 1984. - 288 с.
7. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учебник. – 11-е изд., стер. – М.: Просвещение, 2022. – 239 с.
8. Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В. Погорелова // Математика в школе, 1985, №5, с. 64.
 
 
Tags:
17/11/2024 17:04

Геометрия

В 8 классе (1985 г.) на олимпиаде Октябрьского района г. Ижевска по математике была геометрическая задача, которую я не смог решить. Задача такая. Дан угол и точка вне его. Провести через эту точку прямую так, чтобы она отсека от угла треугольник заданного периметра. Предполагалось, что периметр задан некоторым отрезком.

Так как это задача на построение, в решении нужно было 1) описать, какие действия циркулем и линейкой надо произвести, чтобы построить искомую прямую; 2) доказать, что эта прямая имеет требуемые свойства.

У меня ни каких идей не было даже как подступиться к решению. 

Позже я обнаружил эту задачу в учебнике геометрии А.В. Погорелова 1983 г. изд. - §5, №55 2). Это параграф изучается в 6 классе! Мы учились по этому учебнику. Я уже писал, что главный его недостаток с моей точки зрения - вынесение всех нетривиальных вещей в упражнения и задачи. Вероятно, автор предполагал, что ключевые и наиболее трудные задачи будут разобраны учителем в классе. Но он не представлял себе реальный уровень учителей. Они способны натаскивать школьников на типовые задачи по алгебре, но в геометрии, где ничего типового нет, разбираются не лучше учеников. Поэтому на уроках тоже не было и намека на решения подобных задач.

Много позже, не только после школы, но и после университета, я вернулся к школьной геометрии. Ломоносов говорил, что математика ум в порядок приводит. Годы задания высшей математикой настолько упорядочили мой ум, что с новых высот школьные задачи оказались куда проще, решения находились чаще всего за несколько минут. Штудирование учебника показало, что автор задача за задачей плавно наращивал сложность. Так, решение упомянутой задачи опирается на предшествующие: №№ 16, 45, 49, 51, 54 и, отчасти, на текст учебника.

Сегодня я решил увековечить решение задачи №55 для потомков. Записал с помощью сына видео построения. Скоро, надеюсь, добавлю туда уже на компьютере доказательную часть и оформлю окончательный видеоролик. Следите за анонсами.
Tags:
23/10/2024 10:41

Демидович и компания

В этом году сын поступил в университет на беспилотные системы. Чисто инженерная специальность. А задачи по матанализу задают по Демидовичу, потому что их маленькую группу присоединили на семинарах к математикам. Народ стонет. А у моего сына есть поддержка в лице меня! ))) Выяснилось, что за 35 лет я не только не забыл предмет, но даже продвинулся в нем, и задачи, которые на I курсе казались неразрешимыми, теперь решаю без труда.
Tags:
04/09/2024 00:17

Сто фактов обо мне. №8

Свою первую программу для компьютера я написал в пятом классе - 1982 или 83 годы. Компьютер назывался "Электроника Б3-21", а программа вычисляла квадратный корень по формуле Герона (не путать с одноименной формулой для площади треугольника):


Tags:
19/07/2024 14:17

Уважайте правильно

Либералы постоянно говорят о необходимости уважения чужих традиций. Но под "чужими" понимаются исключительно те, что на этом фото; их уважение обязательно под страхом наказания.



А вот эти традиции уважать запрещено так же под угрозой наказания.



Первым, кто подтвердил это, оказался Facebook. Изначально я хотел разместить пост там. Но детище Цукерберга мгновенно удалило второе фото, оставив в неприкосновенности первое, да еще и пригрозило мне баном за публикацию запрещенные в свободном демократическом обществе женских сосков.

Tags:
13/05/2024 21:42

Задача красна решением

В Ленинградском/Санкт-Петербугском университете общую физикну в отделении астрономии преподавал Сергей Георгиевич Слюсарев. Он в одно лицо читал лекции и вел семинары. Слюсарева можно назвать примером того, как нельзя преподавать физику. Через пару лекций мне надоело его бессвязное бормотание, и я перестал ходить на занятия.

Однажды мне сообщили, что будет контрольная работа, без которой до экзамена не допустят. Пришлось идти. И оказалось, что раздел "Электродинамика" читал не Слюсарев, а другой преподаватель - доцент Кучма. По причине полного раздолбайства весь семестр контрольную я провалил. Но вот что меня впечатлило. На следующем семинаре, объявив результаты, Кучма сделал то, что, на мой взгляд, должен делать любой нормальный преподаватель. Он объяснил решение задач. Кроме него на факультете так делал только В.Ф. Осипов.
Tags:
12/05/2024 21:39

Карточные страдания

За три года случаи, когда мне приходилось пользоваться пластиковой банковской карточкой, можно пересчитать по пальцам одной руки. Нет, я не сторонник наличных денег, мне интересны новые способы. Поэтому с приобретением iPhone стал пользоваться ApplePay. К тому времени все терминалы в моей области существования понимали бесконтактные карты и, следовательно, ApplePay. Привязал карты трех банков, в которых у меня на тот момент были текущие счета - и вперед!

В феврале 2022 года что-то случилось. и, конечно, для победы добра над злом нужно было лишить меня сервиса ApplePay, чтобы не мог им оплачивать военные поставки и микрочипы, перевозимые через границу (согласно Гуриеву) в багажниках автомобилей. Но я сознательно не достал из стола пластиковые карты, а попытался выкрутиться так. Apple не разрешает сторонним приложениям использовать NFC, поэтому как жена и сын на своих андроидофонах я не мог установить какой-нибудь МИР Pay. Поначалу стал снимать наличные деньги. А в новых банкоматах Сбера это можно делать без карты. А торговые точки стали придумывать способы оплаты без карт, с помощью одного только телефона. Способы были разные.

Сеть магазинов "Лента" договорилась со Сбербанком и поставила на кассовые аппараты софт для чтения QR-кодов с телефона клиента. При оплате нужно зайти в приложение Сбера, сгенерить там QR-код и показать его кассиру. Терминал считывает реквизиты счета и через банк списывает с него нужную сумму.

Чуть позже "Лента" реализовала функционал оплаты в своем фирменном приложении. Способ назвали "Лента Pay". Нужно привязать банковские карты к карте Ленты, и покупки оплачиваются нажатием кнопки в приложении.

Другие торговые точки закупали карточные терминалы, способные отображать на экране QR-коды. Тут наоборот, покупатель считывать банковским приложением этот код с данными торговой точки и платил через банк. Недостаток был в том, что терминал привязывался к конкретному банку, с которым у торговой точки договор. Как правило это был Сбер. Заплатить со счета другого невозможно.

Центробанк стал решать последнюю проблему через созданную им ранее Систему Быстрых Платежей. Он обязал все банки присоединиться к этой системе, а терминалы программировать так, чтобы платеж шел не сразу в конкретный банк, а в НСПК, которая проведет его через тот банк, который выберет покупатель.

К сегодняшнему дню даже овощная лавка в цокольном этаже моего дома имеет терминал с возможностью оплаты по QR-коду через НСПК.

Сеть "Магнит" присоединилась к СБП еще до переоснащения терминалов. Поначалу они по желанию покупателя печатали QR-код на ленте кассового аппарата. Но за полгода перешли на безбумажную технологию. Наконец, подобно "Ленте" реализовали возможность оплаты в фирменном приложении, правда, по другой технологии.

Даже маршрутки, которые всегда принадлежали к царству налички, стали принимать понемногу оплату банковскими картами, потом в них появились терминалы с QR-кодами. А там, где терминалов нет, водители часто берут плату переводом на свой счет в банке, который тоже выполняется на смартфоне за минуту.

Наконец, банки стали выпускать платежные стикеры - микрокарты, которые можно приклеить к задней стенке телефона. Лучше всех оказалась омерзительнейшая во всех прочих отношениях шарага МТС. Их стикер не привязан к собственной карте МТС и может использоваться для платежей через много различных банков, в том числе через все крупнейшие: Сбер, Росбанк, Тинькофф и пр.

В итоге, пачку банковских карт я давно уже не ношу с собой. Осталось дождаться, когда компания "Транспортные информационные системы" сумеет записать в телефон проездные билеты длительного пользования, и не будут таскать никакие карты. Современные телефоны достаточно надежны, а на аварийный случай небольшая сумма наличными у меня всегда имеется.
Tags:
06/03/2024 23:03

Вот и выкручивайся с этим Паскалем!

Совсем недавно, кстати, рассказывая про алгоритм Краута разложения квадратной матрицы в произведение двух треугольных, столкнулся с недостатком языка Паскаль. Схема алгоритма там такая:
procedure UnsymDet (...; var fail: Boolean);
...
begin 
   { некоторые вычисления }
   for k := 1 to n do
      begin 
         { вычисление ведущего элемента x столбца k }
         if abs(x) < eps then
            { надо присвоить fail := true и выйти, но как??? }
      end
end.

( Read more... )
Tags:
06/03/2024 22:58

Писать код ≠ программировать

Как некоторые знают, Никлас Вирт придумал язык программирования Паскаль не для того, чтобы отвлекать российских школьников от говнокодинга на «самых лучших» языках C# и Python, а для обучения программированию как науке. Судя по тому коду, что я видел у наших программистов, кодить они научились, а программировать — нет.
 
И для того, чтобы сложный синтаксис и множество операторов не отвлекали учащихся от постижения предмета, Вирт намеренно минимизировал структуру языка — включил туда только совершенно необходимые конструкции. Так же поступил и с набором стандартных функций. Зато добавил возможность конструировать пользовательские типы данных.

Однако, некоторые недостатки всё же остались. Например, в операторах if и for, while вложенной конструкцией был только один оператор, из-за чего при необходимости написать несколько приходилось заключать их в операторные скобки begin...end. А цикл until изначально допускал любую последовательность вложенных операторов. Так же в языке отсутствовал оператор досрочного выхода из цикла или процедуры — выход допускался только по достижению конца тела процедуры. А ведь есть много случаев, когда где-то глубоко внутри вложенного цикла выясняется, что решение невозможно, и надо завершить процедуру с соответствующим результатом.

С другой стороны, Вирт сохранил в языке оператор goto, который позволил обойти только что описанную проблему выхода из цикла. Но этот же оператор позволил студентам по старинке строгать спагетти-код, так хорошо знакомый фортран-кодерам, чего Вирт старался избежать.

Эти и некоторые другие недостатки были исправлены в другом изобретении Вирта — языке Модула-2. Новый язык содержал средства не только для обучения, но и для промышленного программирования. Но в то время уже широко пошел язык C (а кто помнит A и B?), и Модула-2 конкуренцию не выдержала. А язык Паскаль прочно занял нишу учебного языка. К сожалению, многие преподаватели не понимают разницу между изучением программирования и изучением языка программирования, отчего без раздумий грузят шестиклассников инкапсуляцией, наследованием и полиморфизмом на С++, когда те еще не вкурили даже линейный поиск.
 
Tags:
13/02/2024 10:10

(no subject)

А вы обращали внимание, что в учебниках геометрии никогда не доказывают теоремы о медианах, высотах и биссектрисах (что они пересекаются в одной точке), а всегда формулируют их как задачи/упражнения? И еще никогда не пишут ответы к этим задачам. Это какой-то кодекс авторов, типа как у фокусников?
Tags:
27/01/2024 10:36

Ужель та самая Татьяна? (Окончание)

Из предыдущих статей цикла следует, что есть по крайней мере три варианта года. Первый - идеальный - это тропический год 365,2422 суток. Идеальность состоит в том, что ровно через тропический год в точности повторяются условия освещения Солнцем земной поверхности и, следовательно, сезоны года. Естественным счетчиком хода тропического года является средняя долгота Солнца, которая меняется за год от 0 до 360°. Григорианский год, средняя продолжительность которого 365,2425 суток, - очень хорошее приближение к тропическому году. В одну и ту же дату разных лет Солнце оказывается примерно на одной и тоже долготе. Небольшие различия обусловлены округлением продолжительности года до целого числа, но эти различия колеблются не более чем на 1 сутки в ту или иную сторону. Наконец, плохим приближением к тропическому году является юлианский год в 365,25 суток. Поскольку он ощутимо длиннее тропического, сезоны будут ползти по календарю. В одну и ту же дату сезоны будут сползать от весны к лету, от лета к осени и т.д.
 
Артподготовка завершена, поставим теперь такую задачу. Допустим, произошло некоторое событие в день N по текущему календарю. Вы собираетесь отмечать это событие ежегодно. Какого числа  это делать? 
 
Есть три решения данной задачи: идеальное, очень хорошее и плохое. Рассмотрим их по очереди.
 
Идеальное решение состоит в том, чтобы отмечать событие в точности через идеальный (тропический) год. Узнаем, какова была долгота Солнца в момент события, и отметим годовщину события ровно через один оборот при той же долготе. Это решение лучшее в смысле точности, но неудобное практически.
 
Очень хорошее решение - это воспользоваться григорианским календарем. Надо посмотреть, в какую дату григорианского календаря произошло событие, и отмечать его в ту же дату. Максимум ошибемся на день. Но даже через 3000 лет большей ошибки не будет.
 
Наконец, плохое решение - это использовать плохой календарь. Если отмечать годовщину события каждый год в то же число по юлианскому календарю, то окажется, что к этой дате Земля успеет пройти вперед по орбите от точки события, через год - еще немного вперед и т.д. Через тысячи лет - а мы не сомневаемся, что наша вторая по истинности вера просуществует еще много тысяч лет - осеннее событие придется отмечать летом, осеннее - зимой...
 
И вот тут пришло время вспомнить Татьяну. Τατιανὴ Римская, в современном русском языке - Татьяна, была казнена 12 января 226 года. Дата эта - по юлианскому календарю (старому стилю), потому что новый, григорианский, еще не придумали. Когда отмечать день памяти Татьяны? Плохое решение состоит, как написано выше, в том, чтобы делать это каждый год 12 января по старому стилю. Но пройдет пара-тройка тысяч лет, и окажется, что 12 января по календарю будет уже весенняя, а совсем не зимняя погода. Нехорошо!
 
А можно ли применить хорошее решение? Григорианского календаря в III в. не было, но ничто не мешает нам продлить этот календарь не в будущее, а в прошлое. Такой построенный "задним числом" григорианский календарь даже имеет свое название - пролептический (т.е. предшествующий) календарь. А вот таблица расхождений между юлианским и пролептическим календарем:
 
1 марта 1500 - 28 февраля 1700 10
1 марта 1400 - 28 февраля 1500           9
1 марта 1300 - 28 февраля 1400           8
1 марта 1100 - 28 февраля 1300           7
1 марта 1000 - 28 февраля 1100           6
1 марта  900 - 28 февраля 1000           5
1 марта  700 - 28 февраля  900           4
1 марта  600 - 28 февраля  700           3
1 марта  500 - 28 февраля  600           2
1 марта  300 - 28 февраля  500           1
1 марта  200 - 28 февраля  300           0
 
Видно, что в III в., когда казнили Татьяну, разница между календарями составляла 0 дней, т.е., они совпадали! Разумеется, это не закон природы, а следствие того, что Григорий XIII выбрал в XVI в. разницу именно в 10 дней. Поскольку григорианский календарь очень точно соответствует движению Земли вокруг Солнца, годовщину смерти Татьяны нужно отмечать всякий год 12 января по новому стилю. Тогда вы будете отмечать событие почти точно при том же положении Земли на орбите. Да-да, даже в XXI в. Татьянин день следует отмечать 12 января по действующему у нас григорианскому календарю!
 
Наконец, рассмотрим идеальное решение. Точное время казни неизвестно. Выясним, какая была долгота Солнца в полдень 12 января 226 года. В первой статье я приводил формулу для долготы Солнца:
 
L = 1009677,850 + 129602771,270·T + 1,089·T² (")
 
в которой время измеряется в юлианских столетиях по 36525 суток, прошедших с гринвичского полудня 1 января 2000 г. Для событий до 2000 г. T будет отрицательным. С 12 января 226 года (по старому стилю) до 1 января 2000 г. (по новому стилю) прошло 1803616 дней. [Если пожелаете, расскажу отдельно, как я это вычислил]. Следовательно, 
 
T = -1803616/36525 = -17,73932923.
 
Подставив в формулу, получим
 
L = -2298056208" = -638349°.
 
Исключив целое число оборотов, найдем окончательно
 
L = 291°.
 
Вот при такой долготе Солнца случилась казнь Татьяны. Посмотрим, какая была долгота Солнца в полдень 12 января 1755 года по старому стилю. Вычисления далее я опускаю, сообщу только результат: 302°. Что-то не похоже на 291°. Ну а чего вы хотели от юлианского календаря? Вычислим ту же величину для 12 января 1755 года по НОВОМУ стилю. Получим 291°. Вот! Именно так и должно быть. А где было Солнце в полдень 12 января 2024 года? Можете посчитать сами и убедиться, что долгота составит 291°.
 
Вывод: Татьянин день следует отмечать 12 января каждого года по григорианскому календарю.
 
С Татьяной разобрались. Теперь студенты. Говорят, что праздник студентов отмечают в Татьянин день, потому что указ о создании Московского университета был подписан 12 января 1755 года. Простейший поиск в гугле показывает, что это не так. Указ Елизавета Петровна подписала 24 января 1755 года. А 12 января она утвердила ПРОЕКТ учреждения университета. Разумеется, все даты даны по старому стилю, который тогда действовал в России. А в Европе уже был распространен новый стиль и, как следует из таблицы в предыдущей статье, разница между стилями составляла 11 дней. Таким образом, на календаре западноевропейского жителя в тот день было 23 число.
 
Когда отмечать день основания университета? Строго говоря, 4 февраля (24 января + 11 дней). Но если считать таки от даты проекта, то 23 января. Потому что это дата по григорианскому календарю, который точно следует за движением Земли.
 
Проверим по долготе Солнца. 12 января 1755 года по старому стилю = 23 января 1755 года по новому долгота Солнца была 302° - далековато от Татьяны. Какая долгота будет 23 января 2024 года? Правильно, 302°!
 
Вывод: день студента следует отмечать 23 января каждого года по григорианскому календарю.
 
Откуда же взялась "объединенная" дата 25 января? Элементарно! Дабы не перенапрягать мозг неизвестные мне деятели решили, что к датам событий III и XVIII веков нужно зачем-то прибавить СОВРЕМЕННУЮ разницу между календарями. Какой в этом смысл? Никакого! Но зачем смысл, если у нас есть скрепы? Да и вообще, людя́м попроще надо, главное, чтобы водка не подорожала. Долгота Солнца 25 января, кстати, 304° - довольно близко к студентам, но далеко от Татьяны.
 
Резюме.
 
Татьянин день - 12 января.
День студента - 23 января.
День победы интеллектуального большинства над очкариками - 25 января.
 
Tags:
25/01/2024 14:11

Ужель та самая Татьяна? (Продолжение)

Ну что ж, татьянимся дальше.
 
Наш год как период смены сезонов равен 365,2422 суток. А в календарном году, чтобы он имел смысл, должно быть, конечно, целое число суток. Поэтому нужно придумать систему чередования количества дней в году, чтобы в среднем за несколько лет продолжительность календарного года была близка к продолжительности тропического. 
 
Таких систем придумано много. В Европе широко известна одна из них, называемая "юлианский календарь". Историю его появления я здесь рассказывать не буду. А устроен он просто. Три года из четырех имеют содержат 365 суток, а четвертый - 366. В среднем за 4 года получается (3·365+366)/4=365,25. Когда-то всеобщим консенсусом приняли, что по 366 дней будут иметь те годы, номер которых делится на 4 (без остатка). Номер считается от Рождества Христова. Год Рождества - первый.
 
Очевидно, средний календарный год в этой системе - будем называть его юлианским годом - длиннее тропического на 0,0078 суток. А значит, за 1/0,0078≈128 лет накопится ошибка в целые сутки. Что это значит? Допустим, в некоторый год весеннее равноденствие пришлось на полночь 21 марта. Когда пройдет один тропический год, Солнце снова вернется в точку равноденствия (снова день будет равен ночи). Но календарный год еще не закончится, ведь он длиннее! На ваших часах будет еще 20 марта, хотя и близко к полуночи 21 (если точно, то будет 23ʰ49ᵐ). Через 128 лет равноденствие случится в полночь 20 марта, еще через 128 - 19-го и т.д. Через много-много лет равноденствие будет в январе, и январь станет не зимой, а весной, а зима начнется в октябре. Как говорил герцог из фильма "Тот самый Мюнхгаузен": "Возникнет путаница, что надевать: деловой сюртук или нарядный камзол". Ну а если вы - Начальник Церкви и руководствуетесь не сезонами, а канонами, то будет еще хуже. Пастор из того же фильма мудро заметил: "Прихожане не смогут точно знать когда Рождество, а когда Пасха". Давайте остановимся на Пасхе подробнее.
 
В 325 г. отцы церкви собрались в городе Никее (теперь это Изник в Турции), чтобы, как водится, потолковать о вере, осудить еретиков и установить дату Пасхи. Там и порешили, что Пасху впредь нужно праздновать в первое воскресенье после первого полнолуния после весеннего равноденствия. И прихожане возрадовались. Радость, впрочем, несколько омрачалась тем, что день равноденствия определяли не наблюдениями за светилами, а установили точно 21 марта. Да и полнолуние тоже назначали не глядя на Луну - вычислениями. Поэтому спустя примерно 100 лет настоящее равноденствие сползло на 20 марта, еще через 100 - на 19... К концу XVI в. отцы стали волноваться: равноденствие сместилось почти на 10 дней к началу марта! И ладно бы Пасха, но перед Пасхой есть Великий Пост. Если Пасху назначить не на ту дату, получится, что граждане в скоромный день будут поститься, а в постный - скоромиться, а последнее - великий грех! В итоге, папа Григорий XIII, спросив умных людей, в 1582 повелел это бардак исправить. В этом году по сравнению с 325 равноденствие наступило не 21 марта, а на (1582-325)/128=9,8≈10 дней раньше, т.е. 11 марта. 
 
24 февраля (по юлианскому календарю) папа повелел:
 
«Quo igitur vernum æquinoctium, quod a patribus concilii Nicæni ad XII Kalendas Aprilis fuit constitutum, ad eamdem sedem restituatur, præcipimus et mandamus ut de mense Octobri anni MDLXXXII decem dies inclusive a tertia Nonarum usque ad pridie Idus eximantur, et dies, qui festum S. Francisci IV Nonas celebrari solitum sequitur, dicatur Idus Octobris, atque in eo celebretur festum Ss. Dionysii, Rustici et Eleutherii martyrum, cum commemoratione S. Marci papæ et confessoris, et Ss. Sergii, Bacchi, Marcelli et Apuleii martyrum; septimodecimo vero Kalendas Novembris, qui dies proxime sequitur, celebretur festum S. Callisti papæ et martyris; deinde XVI Kalendas Novembris fiat officium et missa de dominica XVIII post Pentecostem, mutata litera dominicali G in C; quintodecimo denique Kalendas Novembris dies festus agatur S. Lucæ evangelistæ, a quo reliqui deinceps agantur festi dies, prout sunt in calendario descripti».
 
Что в переводе на русский язык звучит так:
 
«А посему с целью вернуть весеннее равноденствие на его прежнее место, каковое отцы Никейского собора установили на 12-й день перед апрельскими календами [21 марта], мы предписываем и повелеваем касательно месяца октября текущего 1582 года, чтобы десять дней, от третьего дня перед нонами [5 октября] до кануна ид [14 октября] включительно, были изъяты. День, который будет следовать за 4-м днём до нон [4 октября], когда традиционно празднуется день святого Франциска, должны быть иды [15 октября], и будет отмечаться праздник святых мучеников Дионисия, и Елевферия, диакона Дениса, праздник 9 октября для всех трёх, а также память святого Марка, [праздник 7 октября] папы и духовника, и святых мучеников Сергия, Вакха, Марцелла и Апулея [праздник 7 октября]. Будет отмечаться на следующий день, в семнадцатый день до ноябрьских календ [16 октября], праздник святого Каллиста, папы и мученика, [14 октября], а затем наступит 16 день до ноябрьских календ [17 октября], 18-я неделя по Пятидесятнице. Наконец придёт на место пятнадцатый день до ноябрьских календ [18 октября], праздник Святого Луки Евангелиста [праздник 18 октября], после чего будут следовать один за другим другие праздники, как они описаны в календаре».
 
Поняли? Короче, если убрать всех святых, то после 4 октября 1582 года следовало не 5-е, а сразу 15 октября. Тем самым восполнялись 10 дней, "потерянные" из-за более длинного года по сравнению с тропическим.
 
Кроме того, изменялось правило високосных лет. Ошибка в 1 день в юлианском календаре накапливается за 128 лет, а в 3 дня - за 384 года. Поэтому папа решил, что каждые 400 лет нужно изымать из календаря три дня, чтобы компенсировать большую длительность. Для этого столетние годы (1600, 1700,...) считались високосными только в том случае, если число столетий делится на 4. Так, 1600 год был високосным (16 на 4 делится), а 1700, 1800 и 1900 - нет. По юлианскому же календарю все эти годы високосные. Средняя продолжительность нового -  григорианского - года равна [(300+3)·365+(100-3)·366]/400 = 365,2425 суток. Это уже очень близко к тропическому году. Разница составляет всего 0,0003 суток (26 секунд), а значит ошибка в 1 сутки накопится за 1/0,0003=3333 года.
 
Что здесь важно, кроме богословия? То, что разница между юлианским (старый стиль) и григорианским (новый стиль) календарями не остается постоянной. 4 октября 1582 года она волею папы составила 10 дней. Затем, каждый раз, когда в юлианском календаре год был високосный, а в григорианском - нет, разница увеличивалась на 1 сутки. Вот таблица этой разности. Сначала приводится временной интервал по григорианскому календарю, потом разница с юлианским в этот период.
 
15 октября 1582 — 28 февраля 1700 10
1 марта 1700 — 28 февраля 1800          11
1 марта 1800 — 28 февраля 1900          12
1 марта 1900 — 28 февраля 2100          13
1 марта 2100 — 28 февраля 2200          14
 
В наше время разность составляет 13 суток. В 2000 году она не изменилась, поскольку этот год был високосным по обоим календарям (20 делится на 4). А вот в феврале 2100 года будет только 28 дней (если, конечно, к тому времени западная цивилизация не исчезнет сама и сохранит нынешний календарь).
 
А где же Татьяна? Татьяна со студентами в следующем номере.
 
 
Tags:
23/01/2024 19:53

∫ ln(sin(x)) dx

Интеграл 



- почетный гость всех задачников по математическому анализу. Хотя соответствующий неопределенный интеграл в элементарных функциях не берется, вычислить его в этих пределах легко. На Youtube есть множество роликов на эту тему. Но многие упускают важную вещь: интеграл-то несобственный! Подынтегральная функция не только не существует в нуле, но и не ограничена там. Поэтому прежде чем искать значение интеграла, необходимо доказать его сходимость.

В первом ролике ниже я сначала исправляю этот пробел и доказываю сходимость интеграла. А потом показываю, как найти его значение. Тут нет ничего нового по сравнению с "Курсом дифференциального и интегрального исчисления" Г.М. Фихтенгольца.

Во втором - длинном - ролике я показываю, как найти неопределенный интеграл. Он не выражается через элементарные функции, но может быть выражен через логарифм и известную специальную функцию - дилогарифм. Конечно, пользуясь найденной производной я вновь нахожу уже известное значение написанного в начале определенного интеграла.

Попутно находятся интегралы   и .




Tags:
23/01/2024 19:50

Ужель та самая Татьяна?

Приближается 25 января - "Татьянин день", он же "День студента". Поэтому я должен написать традиционный пост о том, что эта дата ни к Татьяне, ни к студентам отношения не имеет. На этот раз начну с артиллерийской подготовки и расскажу сначала о том, что такое тропический год.
 
В основе солнечного календаря лежит период смены сезонов года. А сезоны меняются из-за изменения условий освещенности земной поверхности. Лучше всего это видно в средних широтах, типа наших: зимой (в среднем) холодно, летом тепло. Нагрев поверхности зависит от двух факторов: максимальной суточной высоты Солнца над горизонтом и от продолжительности светового дня. А от чего зависят эти факторы? От наклона экватора Земли к плоскости её орбиты и от положения Земли на орбите. 
 
Когда Земля находится в точках равноденствий, Солнце для земного наблюдателя находится в плоскости земного экватора. По мере движения Земли по орбите Солнце смещается либо к северу, либо к югу, пока не достигнет максимально возможного удаления от экватора (равного примерно 23,5°). В этот день оно достигает максимальной высоты над горизонтом в каком-то из полушарий (и минимального в другом). В июне солнце стоит высоко в северном полушарии, в январе - в южном.
 
Совершив полный оборот вокруг Солнца, Земля возвращается в ту же точку равноденствия. И цикл повторяется заново. Таким образом, смена сезонов происходит с периодом обращения Земли по отношению к одной из точек равноденствий (традиционно берут "весеннюю", хотя весна в этот момент только в северном полушарии, а для южного она "осенняя").
 
Такой период называется тропическим годом. Чему он равен в сутках?
 
Люди, которые не исследуют квазары и черные дыры, не ловят транзиенты и гамма-всплески, но незаметно за кадром обеспечивают фундамент всех астрономических наблюдений, знают ответ на этот вопрос. Эти люди называются небесными механиками и астрометристами. Первые решают дифференциальные уравнения движения небесных тел, вторые получают из наблюдений фактические параметры этих движений. То, что написано далее, получено трудом этих скромных людей.
 
В формулах ниже буквой T обозначено время. Оно в данном случае измеряется в юлианских столетиях по 36525 суток. А сутки - это 86400 секунд системы СИ. За T=0 принят средний гринвичский полдень 1 января 2000 года.
 
Поскольку астрономические наблюдения в основном производятся с Земли, то традиционно её помещают в начало координат. Астрономы строят "теорию движения Солнца", которая фактически является теорий движения Земли. Угловое расстояние Земли от точки весеннего равноденствия, считаемое вдоль орбиты, называют долготой. А если смотреть с Земли на Солнце и представлять себе Солнце, обращающееся вокруг Земли, то аналогично определяется долгота Солнца. Из-за эллиптичности орбиты Земли долгота изменяется неравномерно, поэтому вводится понятие средней долготы - долготы на воображаемой круговой орбите с тем же радиусом, что и большая полуось истинной эллиптической орбиты.
 
Для средней долготы Солнца имеем формулу (наличие там слагаемых, зависящих от времени, поясню чуть позже):
 
L = 1009677,850 + 129602771,270·T + 1,089·T² (")
 
По этой формуле L получается в угловых секундах.
 
Я не буду сейчас рассказывать о том, как получена эта формула - это предмет спецкурса по небесной механике. Отмечу лишь, что полиномиальный вид проистекает из способа приближенного решения дифференциальных уравнений движения планет, а коэффициенты получены из многочисленных наблюдений, причем наблюдений косвенных: не за Солнцем, а за другими телами Солнечной системы, в том числе из лазерной локации Луны. Формула пригодна на временах порядка нескольких тысяч лет; на десятки и сотни тысяч лет её использовать нельзя - будет сильно врать.
 
Чтобы найти угловую скорость движения Солнца (т.е. Земли), нужно продифференцировать по времени
 
n = dL/dT = 129602771,270 + 2,178·T ("/столетие)
 
Скорость получится в угловых секундах за юлианское столетие. Переведем в более привычные градусы в сутки, для чего поделим на 3600·36525:
 
n = 0,985647359267 + 0,00000001656·T (°/сут)
 
Видно, что скорость медленно меняется со временем. Вызвано это, во-первых, движением точки весеннего равноденствия из-за прецессии земной оси и, во-вторых, гравитационных влиянием на движение Земли вокруг Солнца прочих тел Солнечной системы.
 
Определим тропический год, как величину, обратную к средней скорости Земли. Поскольку скорость эта меняется, то фактически мы определим мгновенный тропический год - период обращения Земли вокруг Солнца по отношению к точке весеннего равноденствия, если бы скорость такого обращения оставалась всегда такой же, как в данный момент. 
 
Y = 360/n = 360/(0,985647359267+0,00000001656·T) (сут)
 
С помощью формулы для приближенных вычислений (1+x)ⁿ≈1+nx (для малых x) получаем следующее:
 
Y = 365,24218993 - 0,00000614·T (сут)
 
Для календарных целей можно с достаточной точность принять
 
Y = 365,2422 сут
 
Вот теперь можно строить календарь.
 
Продолжение в следующем номере.
 
Tags:
23/12/2023 22:28

Запрягаем и едем

Вообще, с транспортными картами [картами для оплаты проезда] изначальна была проблема: их нужно "пополнять". Т.е. записывать в память карты сумму (или вид проездного), которую ты заплатил перевозчику авансом.
 
Когда такие карты появились в Ижевске, я был одним из первых, кто её приобрел, буквально, в первый же день продаж. Пополнить можно было только в специальных киосках наличкой. Там же кассир и записывал данные на карту. Аналогично было в Москве с картой "Тройка". Пополнять можно в кассах метро и неких иных кассах Мосгортранса, которых, впрочем, за 10 лет я видел одну.
 
Потом стали придумывать способы "удаленного пополнения". Фактически это перевод денег через банк перевозчику. Но картой-то пользоваться можно, если факт перевода записан на самой карте! Поэтому после уделенного пополнения его нужно было "активировать" - каким-то способом произвести запись в память карты. В Москве и Петербурге для этого нужно было приложить карту с специальным терминалам в метро или засунуть в аппарат для продажи билетов/пополнения (не удаленного!) карт.
 
Т.е. собираюсь я, например, в Москву. Заранее перевожу деньги на "Тройку". Приезжаю на Казанский вокзал. Далее мне нужно на трамвай. Но пополнение не активировано! Приходится спускаться в метро (с чемоданом), прикладывать карту к желтому ящику на стене, а затем подниматься наверх (с чемоданом). И еще толпы людей вокруг - кто был на Казанском, тот знает.
 
Но в Ижевске не было и этого. А потом тут придумали замечательный способ. Можно перевести деньги транспортной компании через банк. Данные о платеже помещаются в базу данных (БД). Не реже раза в сутки все терминалы кондукторов синхронизируются с этой БД, все они "знают", кто и сколько заплатил. Потом я в любом автобусе/троллейбусе/трамвае прикладываю карту к терминалу кондуктора для оплаты, он сначала записывает на неё сумму пополнения, а потом списывает стоимость проезда. Единственное неудобство такой схемы - между платежом и записью в терминалы проходит время. Поэтому обычно пополнять нужно за сутки. Замена кондукторов на валидаторы ничего в этой схеме не нарушило.
 
Но дальше - больше. Автоматизаторы транспорта создали приложение, через которое можно не только перевести деньги, но и тут же через NFC своего телефона записать данные на карту! Как-то раз я забыл продлить своему сыну школьный проездной на очередной месяц. Утром он разбудил меня звонком из троллейбуса, потому что не смог оплатить проезд. Я тут же перевел ему на банковскую карту нужную сумму, он через приложение пополнил транспортную карту и одновременно "активировал" её. Через 3 минуты он оплатил проезд офигевшей кондукторке (она не знала, что так можно).
 
Что же в столицах? В Москве и Питере тоже придумали способ активации пополнения без визита в кассу. Но это можно сделать некоторыми манипуляциями на отдельных валидаторах в салоне транспорт, причем при наличии доступа этих валидаторов и интернет в данный момент. Ижевская система мне нравится больше.
 
UPD. Мне написали, что в Москве тоже с недавних пор можно пополнить "Тройку" через телефонное приложение и сразу активировать по NFC. Доступно, разумеется, только на телефонах с Android.
Tags:
19/12/2023 01:52

Определенный неопределенный интеграл

Недавно у себя в Фейсбуке я запостил шуточную картинку с интегралом в качестве пароля к WiFi. В комментарии [livejournal.com profile] m61 упомянул еще одну задачу с интегралом, которая решается "в уме": найти ∫_0^(π/2) ln(sin(x))dx. В уме я её не решил, но за несколько минут и с помощью листа бумаги справился.

И у меня возник вопрос: а как вычислить неопределенный интеграл ∫ln(sin(x))dx, и можно ли это сделать вообще в конечном виде? Посидел 2 вечера за учебниками и нашел ответ. Через элементарные функции интеграл не выражается. Но его можно выразить в комплексном виде с помощью известной специальной функции - дилогарифма. Результат такой:

∫ln(sin(x))dx = x·ln(sin(x)) + ½·i·Li₂(exp(2ix)) - x·ln(1-exp(2ix)) + ½·ix² + C

где С - произвольная комплексная постоянная. Поскольку комплексный интеграл для аналитической функции не зависит от пути интегрирования, но только от начальной и конечной точек, то для таких функций можно применить формулу Ньютона-Лейбница. Однако в нашем случае дело осложняется тем, что в нуле подынтегральная функции теряет аналитичность и вообще не определена. Поэтому интеграл с нулем на нижнем пределе строго говоря следует рассматривать как несобственный. С этой оговоркой применение формулы Ньютона-Лейбница к найденному неопределенному интегралу и контуру, состоящему из отрезка вещественной оси [0,π/2], дает искомый результат:

-π·ln(2)/2.
Tags:

Профиль

waspagv: (Default)
DCS Foyle

March 2025

M T W T F S S
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
242526272829 30
31      

Syndicate

RSS Atom

Популярные тэги и

Page Summary

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated 30/06/2025 16:25
Powered by Dreamwidth Studios