![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
Недавно у себя в Фейсбуке я запостил шуточную картинку с интегралом в качестве пароля к WiFi. В комментарии
m61 упомянул еще одну задачу с интегралом, которая решается "в уме": найти ∫_0^(π/2) ln(sin(x))dx. В уме я её не решил, но за несколько минут и с помощью листа бумаги справился.
И у меня возник вопрос: а как вычислить неопределенный интеграл ∫ln(sin(x))dx, и можно ли это сделать вообще в конечном виде? Посидел 2 вечера за учебниками и нашел ответ. Через элементарные функции интеграл не выражается. Но его можно выразить в комплексном виде с помощью известной специальной функции - дилогарифма. Результат такой:
∫ln(sin(x))dx = x·ln(sin(x)) + ½·i·Li₂(exp(2ix)) - x·ln(1-exp(2ix)) + ½·ix² + C
где С - произвольная комплексная постоянная. Поскольку комплексный интеграл для аналитической функции не зависит от пути интегрирования, но только от начальной и конечной точек, то для таких функций можно применить формулу Ньютона-Лейбница. Однако в нашем случае дело осложняется тем, что в нуле подынтегральная функции теряет аналитичность и вообще не определена. Поэтому интеграл с нулем на нижнем пределе строго говоря следует рассматривать как несобственный. С этой оговоркой применение формулы Ньютона-Лейбница к найденному неопределенному интегралу и контуру, состоящему из отрезка вещественной оси [0,π/2], дает искомый результат:
-π·ln(2)/2.
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
И у меня возник вопрос: а как вычислить неопределенный интеграл ∫ln(sin(x))dx, и можно ли это сделать вообще в конечном виде? Посидел 2 вечера за учебниками и нашел ответ. Через элементарные функции интеграл не выражается. Но его можно выразить в комплексном виде с помощью известной специальной функции - дилогарифма. Результат такой:
∫ln(sin(x))dx = x·ln(sin(x)) + ½·i·Li₂(exp(2ix)) - x·ln(1-exp(2ix)) + ½·ix² + C
где С - произвольная комплексная постоянная. Поскольку комплексный интеграл для аналитической функции не зависит от пути интегрирования, но только от начальной и конечной точек, то для таких функций можно применить формулу Ньютона-Лейбница. Однако в нашем случае дело осложняется тем, что в нуле подынтегральная функции теряет аналитичность и вообще не определена. Поэтому интеграл с нулем на нижнем пределе строго говоря следует рассматривать как несобственный. С этой оговоркой применение формулы Ньютона-Лейбница к найденному неопределенному интегралу и контуру, состоящему из отрезка вещественной оси [0,π/2], дает искомый результат:
-π·ln(2)/2.
Tags: