DCS Foyle

Ныне даже в учебниках стало популярным строить прожекты Космического Лифта. Вот, мол, возьмем такую трубу от Земли до неба (или до Луны), и будем по ней гелий-3 качать да ядрену энергию получать! Главное, говорят, чтобы свой вес выдержал. Но у нас есть супер-углеродистое волокно, в 100500 раз тоньше паутины, а целый танк "Армата" поднять можно!

Мне вот интересно, авторы в курсе, что Земля вертится? То есть, ежели вот так эту цепь, пардон, волокно с Луны спустить, то она на землю-матушку наматываться станет, ибо Луна за 27,3 суток оборот делает, а Земля - за одни.

Что говорите? На геостационарую орбиту лифт запустим, там тоже одни сутки? На этой орбите, положим, да. А всех прочих вплоть до самой поверхности Земли? Открою страшную тайну - нет. Вот вообразите себе не цепь, а отдельные колечки её, расположные вертикально от Земли до геостационарной орбиты. Куда они полетят? Если в начальный момент вся конструкция имеет угловую скорость вращения Земли, а кольца выстроены в прямую линию, то уже через мгновение линия будет не прямая. Каждое колечко пойдет по своей собственной орбите, определяемой положением и скоростью кольца в начальный момент. Очень скоро кольца разлетятся так далеко, что ни про какую цепь говорить не придется.

Теперь соединим кольца между собой. Кроме силы тяжести на каждое кольцо будут действовать силы упругости со стороны соседних колец. Для описания движения колец и цепи в целом это нужно учесть. И вот уже вместо школьного понятия "собственный вес" замаячила начально-краевая задача для некоего дифференциально уравнения. Что-то никто из пропагандистов лифта такой задачей не трясет и решения не показывает. А жаль. Потому что без этого решения все проекты "космического лифта" очень похожи на задачу сложить слово "вечность" из букв "ж", "о", "п" и "а".

Вот кусок из библиотеки программ NOVAS, используемой в USNO для вычисления высокоточных эфемерид небесных тел.


Кусок интерполирует барицентрические координаты и скорости планеты, записанные в файле. Обратите внимание: интерполяция выполняется по формуле Лагранжа. Не только заголовок, но и сам текст об этом говорит.

Программу писал студент 1-го курса? Или сотрудники USNO в принципе не слышали про численные метода, поэтому и взяли первый, на который наткнулись в справочнике?

На самом деле, это частный пример, который показывает общую ситуацию. Не скрою, курс методов вычислений в СПбГУ был моим любимым. Любимым, потому что все его содержание, и даже больше, я знал задолго до 4-го курса, когда он читался. И уже тогда мне не нравился подход учебников к изложению предмета. Применительно к решением дифференциальных уравнений и методам Рунге-Кутты я об этом уже когда-то писал. А сейчас, сочиняя бибилиотеку программ для решения уравнений интегральных, скажу применительно к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Что описывают учебники? Правильно, метод Гаусса. Некоторые еще рассказывают про схему Жордана¹. Иван Петрович Мысовских в лекциях, конспект которых у меня сохранился, добавил сюда метод ортогонализации строк. Но дело даже не в том, что описывают мало методов. Дело в том, как и для чего их описывают. Вот, допустим, есть три метода. Чем один лучше другого? Молчок! Если один явно лучший, зачем тратить время на другие? Загадка! Максимум, посчитают количество операций для реализации метода. Все!

Но, дорогие мои, при вычислении на компьютере не менее важным, чем количество операций, вопросом является погрешность. Мало найти остаточный член, например, квадратурной формулы. Нужно уметь оценить реальную погрешность реального вычислительного процесса, который выполняется (неожиданно, да?) с конечным числом разрядов. Решать методом Гаусса систему 10000x10000 может быть и не так долго на современных ЭВМ, но совершенно бесполезно из-за нарастающей погрешности округления. Кто и в каком учебнике показал это? Кто предложил лучший метод?

На самом деле, эти вопросы исследованы и решены. И замечательная книга Дж. Уилкинсона "Алгебраическая проблема собственных значения" даже переведена на русский язык. Я считаю эту книгу эталоном того, как следует писать книги по численным методам. Все погрешности выявлены, проанализированы, и даны советы по их минимизации для разных типов машинных арифметик. Если вы хотите знать, как решить систему уравнений или найти собственные значения матрицы - вы узнаете это их книги Уилкинсона. Более того, автор не ограничился математическим анализом задачи. Совместно с Райншем он издал сборник конретных программ для ЭВМ, тоже переведенный, хотя и безобразно, на русский язык. Программы из этого сборника широко разошлись по миру и включены во многие известные пакеты прикладных программ, например SSP, IMSL, NAG.

Плохо одно. Книга Уилкинсона - не учебник. Хороший студент прочтет ее (если узнает) со вниманием и будет использовать вс работе. Такой студент никогда не станет писать программу интерполяции по формуле Лагранжа. Но много ли их, хороших студентов? Средний выпускник, оказавшись потом в среднем НИИ, вспомнит, когда придется решать реальную задачу, про метод Гаусса и найдет в справочнике простую программку на Бейсике, которую и использует для решения. А то, что решение оказалось неправильным, хотя в программе ошибок нет, выяснится, когда очередной "Протон" под строгим взглядом Путина пробурит очередную скважину на пути исследования мирового поземелья.

---

¹ Схему эту придумал Вильгельм Йордан, немецкое написание фамилии которого - Jordan - неправильно транслитерировано как Жордан. Некоторые, впрочем, думают, что он итальянец, и пишут: "Метод Жордано".