Математический кролик

[waspagv]

Авторы учебников по математике, равно как и преподаватели вузов, очень любят вынимать разные математические объекты как кроликов из шляпы. Естественно, студенты смотрят на них как на фокусников. Те студенты, которые еще умеют думать, кончено. Например, подобно кролику всегда появляются многочлены Чебышёва. Полистал сейчас книги из своей библиотеки, такие как "Методы вычислений" Березина и Жидкова, "Математический анализ" Зорича, "Численные методы" Бахвалова и компании. Всюду авторы сваливают на читателя несчастные многочлены либо через рекуррентную формулу, либо через производящую функцию, либо (Зорич) даже явной формулой. А потом выясняется, что у этих с потолка свалившися функций прорва разных полезных свойств. "Неужели господь явил Пафнутию Львовичу свое Откровени?" - думает удивленный студент.

Я полагаю, что такой способ изложения математики крайне вреден. Не фокусы показываем! И многочлены эти Чебышёв придумал не от скуки. Мне известен единственный случай, когда лектор ввел многочлены Чебышёва как естественное решение одной задачи, причем задачи не вымученной для какой-то олимпиады. Лектором был И.П. Мысовских, а задачей - поиск многочлена, наименее отклоняющегося от нуля.

Правда, Иван Петрович совершил другую ошибку. На протяжении нескольких лекций он развивал теорию чебышёвских приближений. А когда пришло время проиллюстрировать теорию каким-либо примером, решил упомянутую задачу особенным, применимым только к ней, способом. Вся изложенная ранее теория была отодвинута в сторону и так и осталась абстрактной конструкцией.

Еще один пример кролика: теоремы Чебышёва об интегрируемости биномиальных дифференциалов. Каждый автор считает своим долгом разобрать несколько случаев интегрируемости, а затем сказать, что все остальные в элементарных функциях не выражаются. Почему? Да бес их знает! Говорят, Чебышёв доказал. Ну, может быть, на лекциях доказывать слишком долго. Но в книге-то можно написать, особенно если она многотомная. Не пишут! Есть у меня одна гипотеза на эту тему. Однаждый я спросил преподавателя матана из нашего университета, почему он никогда не доказывает эту теорему.

- А где я возьму доказательство? - удивился математик.
- А вы не знаете?
- Откуда? Меня учили, что Чебышёв доказал. Не буду же я изучать все сочинения Чебышёва!

Comments

[cherez-dorogu.livejournal.com]

Вполне такое "жреческое" знание. Кто-то когда-то доказал, но знают об этом только избранные, остальные принимают на веру :)
А может, Чебышёв не доказал? Может, это только слухи? Вот бы было интересно :)

[waspagv.livejournal.com]

Доказал таки, я проверил. :) Правда, напечатал во французском Journal de mathematiques pure et appliquee, но кто ж в 1853 году не знал французского? А я нашел это доказательство в "Избранных трудах" 1955 г. уже на русском. И доказательство базируется на работах Абеля и Лиувилля, которые последний раз на русском языке излагались в 1940 г. Так что до полного "ожречивания" недалеко уже.

[nicolauss.livejournal.com]

По своему опыту скажу что мне тоже очень не нравилось ето "сваливане" (прям с Луны свалились) всяких там рекуррентных соотношений производящих функций для всяких там полиномов. наиболее естественным считаю определение с помощью уравнений, то есть как решение какого то уравнения. уравнения зачастую имеют физическое приложение и строятся из простых аналогий.

А теорема про интегрируемость это вообще что-то! Лектор конечно ссылася на работи П.Л.Ч. и кажется припоминал курс то ли Валле-Пуссена 1933г. то ли кого-то еще.:)

[alex1969.livejournal.com]

Согласен, такой способ изложения математики вреден. Но выбора, как правило, нет. Мне вспоминается история с вращением векторного поля. В курсах лекций по прикладному нелинейному функциональному анализу обычно дают определение вращения, перечисляют основные свойства, а дальше сразу переходят к приложениям. На вопрос "как доказать эти свойства" лектор с грустью отвечает "а это тема отдельного годового спецкурса"...

[waspagv.livejournal.com]

Бывает, что выбора нет. Я в таком случае прямо говорил, что доказательство громоздко, и указывал учебники, в которых его можно найти. Например, доказательство основной теоремы алгебры чисто алгебраическими средствами (без ТФКП). Но часто необходимые объяснения опускаются даже там, где их можно дать без особого труда. Все знают, как определяется произведение матриц. Мало кто поясняет, почему оно определяется именно так. Все знают, как определяется детерминант матрицы. Многие ли преподаватели объясняют, откуда свалилась эта функция, имеющая столь многие применения? Почему там (-1) в какой-то степени? Что будет, если этот (-1) убрать? Мой преподаватель сказал, что тогда получится перманент, но не рассказал, почему он не играет такой важной роли в алгебре, как определитель. И т.д.

Я считаю, никто об этом не задумавается, просто читают как всегда. А студенты все реже и реже задают вопросы.