29/04/2008 08:29
(no subject)
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
waspagvМирослав Войнаровский (psilogic) поднял недавно в своем журнале тему о том, как отделить науку от лже-(всевдо, анти - на выбор)-науки. Мнений было немного, но преобладало то, что научная истина должна быть подтверждена экспериментально. Вопрос, математика - это наука? Как подтвердить ее экспериментально? И надо ли вообще подтверждать? А история? А психология, социология и т.п.? На тему математики я даже поспорил с одним из комментаторов о том, имеют ли абстрактые математические рассуждения свою ценность, или же математика должна лишь обслуживать другие науки. (Впрочем, больше я с ним спорить не буду. Сходу обозвать иную точку зрения глупостью - сильный полемический прием, после которого любую полемику следует немедленно прекратить и при наличии физической возможности продолжить общение канделябрами).
Очень приятно рассуждать о том, что астрология - не наука. Рассуждения на эту тему очень нравятся астрологам и раздражают ученых. С тем, что философия не наука согласно большинство философов, хотя ее роль философами и учеными оценивается по-разному. Ни один историк не согласится с тем, что история - не наука. Но есть физики, которые так считают ("Все науки делятся на физику и коллекционирование марок" - Ландау).
psilogic) поднял недавно в своем журнале тему о том, как отделить науку от лже-(всевдо, анти - на выбор)-науки. Мнений было немного, но преобладало то, что научная истина должна быть подтверждена экспериментально. Вопрос, математика - это наука? Как подтвердить ее экспериментально? И надо ли вообще подтверждать? А история? А психология, социология и т.п.? На тему математики я даже поспорил с одним из комментаторов о том, имеют ли абстрактые математические рассуждения свою ценность, или же математика должна лишь обслуживать другие науки. (Впрочем, больше я с ним спорить не буду. Сходу обозвать иную точку зрения глупостью - сильный полемический прием, после которого любую полемику следует немедленно прекратить и при наличии физической возможности продолжить общение канделябрами).Очень приятно рассуждать о том, что астрология - не наука. Рассуждения на эту тему очень нравятся астрологам и раздражают ученых. С тем, что философия не наука согласно большинство философов, хотя ее роль философами и учеными оценивается по-разному. Ни один историк не согласится с тем, что история - не наука. Но есть физики, которые так считают ("Все науки делятся на физику и коллекционирование марок" - Ландау).
Сначала о критерии. Критерий научной истины применительно к физике сформулировал более 400 лет назад Роджер Котес в предисловии ко 2-му изданию "Начал" Ньютона. Вот цитата оттуда в переводе акад. Крылова:
Таким образом они предаются фантазиям, пренебрегая истинною сущностью вещей, которая, конечно, не может быть изыскана обманчивыми предположениями, когда ее едва удается исследовать при помощи точнейших наблюдений. Заимствующие основания своих разсуждений из гипотез, даже если бы все дальнейшее было ими развито точнейшим образом на основании законов механики, создали бы весьма изящную и красивую басню, но все же лишь басню.
...
Остается третья категория — это те, кто является последователями экспериментальной философии (т. е. экспериментального метода при исследовании явлений природы). Они также стремятся вывести причины всего сущего из возможно простых начал, но они ничего не принимают за начало как только то, что подтверждается совершающимися явлениями. Они не измышляют гипотез и не вводят их в физику иначе, как в виде предположений, коих справедливость подлежит исследованию. Таким образом они пользуются двумя методами—аналитическим и синтетическим. Силы природы и простейшие законы их действия они выводят аналитически из каких-либо избранных явлений, и затем синтетически получают законы остальных явлении. Вот этот-то самый лучший способ исследования природы и принят преимущественно перед прочими нашим знаменитейшим автором.
Итак, гипотезы вводятся в физику только в виде предположений. Затем их справедливость проверяется наблюдением над совершаюшимися явлениями, в результате чего гипотеза может быть а) принята как теория, либо б) отвергнута полность, либо в) уточнена.
Что наблюдает историк? Какие гипотезы он формулирует? Предмет истории - установление событий, произошедших в прошлом, а также обнаружение причин, по которым произошли именно эти события, а не иные. С этой целью историк исследует любой фактический материал, относящийся к прошлому: документы, предметы, показания очевидцев. Сначала он, как и физик, выдвигает гипотезу. Скажем, увидев в Южном Китае жителей с некоторым европейскими чертами лица, он предполагает, что в прошлом тут побывали римляне. Далее он ищет свидетельства, подтверждающие или опровергающие это предположение. Признав гипотезу неверной, историк должен поискать другое объяснение и так же подвергнуть его проверке. А если гипотеза подтверждается, то следующий вопрос, ответ на который нужно получить, это с какого бодуна римские солдаты поперлись в Китай?
Таким образом, в истории применяется тот же самый научный метод, которым пользуются физики. А филолог? Какие там гипотезы, какой фактический материал, что наблюдать и над чем ставить опыты? В университете я терепть не могу иностранный язык, поскольку не видел в нем логики. Все изучение сводилось к заучиванию слов и правил грамматики. По позже я понял, что это был недостаток не науки, а преподавания. Людям с разным складом ума нужно преподавать иностранный язык по-разному. Вы не обращали внимание на то, как разные люди переводят текст, в котором есть много незнакомых слов? Тут все делятся на две категории. Относящиеся к первой просто ищут незнакомое слово в словаре и выписывают его на листок бумаги. Затем ищут второе слово и т.д. Омонимия (многозначные слова) - сущая проблема для таких людей. Другие поступают иначе. Воспринимая текст в целом, они пытаются угадать значения незнакомых слов, а потом свои догдаки проверяют по словарю. Я отношусь ко второй категории, а преподавание ориентировано целиком на первую. Так вот, возмущенный методикой обучения, я завил преподавателю, что было бы гораздо эффективнее, если бы он не просто сообщал нам правила, но и объяснял бы, откуда они взялись, почему нужно писать так, а не иначе. Вот предмет филологии! Язык редко меняется законодательно. Правила как устной так и письменной речи возникают в ходе эволюции языка по определенным законам. Их открытие - задача филолога. Все разнообразие современных и умерших языков - фактический материал этой науки. Масса примеров научного подхода к языкам есть в книгах Льва Успенского, который, собственно, и открыл для меня мир филологии.
Что же с математикой? На первый взгляд может показаться, что математик действует иначе. Он придумывает некие аксиомы, а потом с увлечением выводит из них разные следствия. В первом приближении, он действительно придумывает аксиомы. Но полет фантазии ограничен. Евклид формулировал свои постулаты таким образом, чтобы выводимые из них следствия отражали наблюдаемые явления. Из опыта было известно, что через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной, причем можно всегда. Отсюда появился патый постулат. Почему Лобачевский изменил этот постулат? Захотелось пофантазировать? Вовсе нет. Как и писал Котес, Лобаческий (и другие математики) стремился вывести причины всего сущего из возможно простых начал. Т.е. старался свести количество постулатов к минимуму. А попрос о возможности вывода пятого постулата из остальных в то время широко обсуждался. Вот Лобаческий и решил посмотреть, можно ли его выкинуть из геометрии. Оказалось, можно, но получается уже другая геометрия. Труды Лобачевского не получили признания, пока неевклидова геометрия естественным образом не была востребована физикой - наукой о наблюдаемых явлениях.
Другой пример - простые числа. Мой оппонет утверждал, что это на самом деле важная проблема, не имеющая практической ценности. Утверждение спорное. Современная критография основана в значительной мере на практической трудности решения некоторых задач теории чисел, в частности задачи разложения числа на простые множители (знаменитый алгоритм RSA). Для других криптографических алгоритмов требуются большие простые числа, следовательно и правила их генерации.
Даже проблема простых чисел-близнецов (т.е. отличающихся на 2) не оторвана от познания реального мира. Таких чисел бесконечно много, или существует какая-то максимальная пара? Ответа пока нет. Но не уподобляется ли философу-трепачу тот математик, который ищет на него ответ? Если я отвечу утвердительно (а математик Кронрод отвечал именно так), то иные математики обвинят меня в покушении на священную корову (математика - не наука, она выше науки! :)) Но я дам другой ответ. Всякое установление и минимизация аксиоматики имеет целью свести свойства рельного мира к наименьшему числу исходных положений (аксиом), из которых все остальное выводится в соответствии с законами (математической) логики. Аксиомы натуральных чисел (например, Пеано) чрезвычайно просты. Но вот достаточны ли они? А вдруг для решения вопроса о числах-близнецах этих аксиом недостаточно? Изучая такие вопросы мы по-сути копаемся в алгоритмах нашего мышления, в том фундаменте, на котором базируются все наши выводы. Теоремы Гёделя разрушили красивую идею Гильберта построить самодостаточную математику, замкнутую внутри себя.
Разумеется, из сказанного вовсе не следует что в других вещах математики не уподобляются философам и не изучают свои умозрительные построения ради любви к процессу. В книге академика В.И. Арнольда "Что такое математика?" (http://www.mccme.ru/edu/viarn/whatis.ps) много примеров как полезных, так и бесполезных исследования, так же как и примеров того, как попытка решить умозрительную проблему (6-ю проблему Гильберта, например), порождает массу замечательных работ, тесно связанных с реальность.
Таким образом они предаются фантазиям, пренебрегая истинною сущностью вещей, которая, конечно, не может быть изыскана обманчивыми предположениями, когда ее едва удается исследовать при помощи точнейших наблюдений. Заимствующие основания своих разсуждений из гипотез, даже если бы все дальнейшее было ими развито точнейшим образом на основании законов механики, создали бы весьма изящную и красивую басню, но все же лишь басню.
...
Остается третья категория — это те, кто является последователями экспериментальной философии (т. е. экспериментального метода при исследовании явлений природы). Они также стремятся вывести причины всего сущего из возможно простых начал, но они ничего не принимают за начало как только то, что подтверждается совершающимися явлениями. Они не измышляют гипотез и не вводят их в физику иначе, как в виде предположений, коих справедливость подлежит исследованию. Таким образом они пользуются двумя методами—аналитическим и синтетическим. Силы природы и простейшие законы их действия они выводят аналитически из каких-либо избранных явлений, и затем синтетически получают законы остальных явлении. Вот этот-то самый лучший способ исследования природы и принят преимущественно перед прочими нашим знаменитейшим автором.
Итак, гипотезы вводятся в физику только в виде предположений. Затем их справедливость проверяется наблюдением над совершаюшимися явлениями, в результате чего гипотеза может быть а) принята как теория, либо б) отвергнута полность, либо в) уточнена.
Что наблюдает историк? Какие гипотезы он формулирует? Предмет истории - установление событий, произошедших в прошлом, а также обнаружение причин, по которым произошли именно эти события, а не иные. С этой целью историк исследует любой фактический материал, относящийся к прошлому: документы, предметы, показания очевидцев. Сначала он, как и физик, выдвигает гипотезу. Скажем, увидев в Южном Китае жителей с некоторым европейскими чертами лица, он предполагает, что в прошлом тут побывали римляне. Далее он ищет свидетельства, подтверждающие или опровергающие это предположение. Признав гипотезу неверной, историк должен поискать другое объяснение и так же подвергнуть его проверке. А если гипотеза подтверждается, то следующий вопрос, ответ на который нужно получить, это с какого бодуна римские солдаты поперлись в Китай?
Таким образом, в истории применяется тот же самый научный метод, которым пользуются физики. А филолог? Какие там гипотезы, какой фактический материал, что наблюдать и над чем ставить опыты? В университете я терепть не могу иностранный язык, поскольку не видел в нем логики. Все изучение сводилось к заучиванию слов и правил грамматики. По позже я понял, что это был недостаток не науки, а преподавания. Людям с разным складом ума нужно преподавать иностранный язык по-разному. Вы не обращали внимание на то, как разные люди переводят текст, в котором есть много незнакомых слов? Тут все делятся на две категории. Относящиеся к первой просто ищут незнакомое слово в словаре и выписывают его на листок бумаги. Затем ищут второе слово и т.д. Омонимия (многозначные слова) - сущая проблема для таких людей. Другие поступают иначе. Воспринимая текст в целом, они пытаются угадать значения незнакомых слов, а потом свои догдаки проверяют по словарю. Я отношусь ко второй категории, а преподавание ориентировано целиком на первую. Так вот, возмущенный методикой обучения, я завил преподавателю, что было бы гораздо эффективнее, если бы он не просто сообщал нам правила, но и объяснял бы, откуда они взялись, почему нужно писать так, а не иначе. Вот предмет филологии! Язык редко меняется законодательно. Правила как устной так и письменной речи возникают в ходе эволюции языка по определенным законам. Их открытие - задача филолога. Все разнообразие современных и умерших языков - фактический материал этой науки. Масса примеров научного подхода к языкам есть в книгах Льва Успенского, который, собственно, и открыл для меня мир филологии.
Что же с математикой? На первый взгляд может показаться, что математик действует иначе. Он придумывает некие аксиомы, а потом с увлечением выводит из них разные следствия. В первом приближении, он действительно придумывает аксиомы. Но полет фантазии ограничен. Евклид формулировал свои постулаты таким образом, чтобы выводимые из них следствия отражали наблюдаемые явления. Из опыта было известно, что через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной, причем можно всегда. Отсюда появился патый постулат. Почему Лобачевский изменил этот постулат? Захотелось пофантазировать? Вовсе нет. Как и писал Котес, Лобаческий (и другие математики) стремился вывести причины всего сущего из возможно простых начал. Т.е. старался свести количество постулатов к минимуму. А попрос о возможности вывода пятого постулата из остальных в то время широко обсуждался. Вот Лобаческий и решил посмотреть, можно ли его выкинуть из геометрии. Оказалось, можно, но получается уже другая геометрия. Труды Лобачевского не получили признания, пока неевклидова геометрия естественным образом не была востребована физикой - наукой о наблюдаемых явлениях.
Другой пример - простые числа. Мой оппонет утверждал, что это на самом деле важная проблема, не имеющая практической ценности. Утверждение спорное. Современная критография основана в значительной мере на практической трудности решения некоторых задач теории чисел, в частности задачи разложения числа на простые множители (знаменитый алгоритм RSA). Для других криптографических алгоритмов требуются большие простые числа, следовательно и правила их генерации.
Даже проблема простых чисел-близнецов (т.е. отличающихся на 2) не оторвана от познания реального мира. Таких чисел бесконечно много, или существует какая-то максимальная пара? Ответа пока нет. Но не уподобляется ли философу-трепачу тот математик, который ищет на него ответ? Если я отвечу утвердительно (а математик Кронрод отвечал именно так), то иные математики обвинят меня в покушении на священную корову (математика - не наука, она выше науки! :)) Но я дам другой ответ. Всякое установление и минимизация аксиоматики имеет целью свести свойства рельного мира к наименьшему числу исходных положений (аксиом), из которых все остальное выводится в соответствии с законами (математической) логики. Аксиомы натуральных чисел (например, Пеано) чрезвычайно просты. Но вот достаточны ли они? А вдруг для решения вопроса о числах-близнецах этих аксиом недостаточно? Изучая такие вопросы мы по-сути копаемся в алгоритмах нашего мышления, в том фундаменте, на котором базируются все наши выводы. Теоремы Гёделя разрушили красивую идею Гильберта построить самодостаточную математику, замкнутую внутри себя.
Разумеется, из сказанного вовсе не следует что в других вещах математики не уподобляются философам и не изучают свои умозрительные построения ради любви к процессу. В книге академика В.И. Арнольда "Что такое математика?" (http://www.mccme.ru/edu/viarn/whatis.ps) много примеров как полезных, так и бесполезных исследования, так же как и примеров того, как попытка решить умозрительную проблему (6-ю проблему Гильберта, например), порождает массу замечательных работ, тесно связанных с реальность.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
no subject
У философии тоже. И то, и другое бесполезно, если это "внутреннее" никак не зависит от внешнего. А то, что через столетия (про тысячи, пожалуй, преувеличение) какие-то идеи оказываются востребованными... Кто-нибудь считал сколько "внутренне непротиворечивых" идей канули в Лету? Пуанкаре пытался решать задачу трех тел. Решил, как он думал. Потом выяснил, что ошибся. Но в попытках найти решения создал теорию динамических систем, имеющую чрезвычайно широкое применение. Создание этой теории не было делом случая. А если бы Пуанкаре просто фантазировал, руководствуясь лишь внутренней непротиворечивостью, то лишь случайно какая-либо из его идей могла оказалаться плодотворной много лет спустя.
Фундаментальная математика - это не досужие размышления на тему "предположим, что у слона 12 ног, выведем отсюда размерность его желудка". Сила и универсальность математики - в абстрации. Но абстрагироваться можно только от чего-то реального. Иначе будет создана красивая басня, но все же лишь басня.
Да что я буду Арнольда пересказывать! Все эти аргументы он приводил в спорах с бурбакистами. Арнольд, кстати, не последний человек в математике. КАМ-теория - выдающееся математическое достижение XX века. И оно востребовано реально и сейчас, а не гипотетически через тысячи лет.
no subject
Арнольда я читала. Мне кажется, он путает две вещи: преподавание математики и занятие математикой как наукой. Преподавать математику, действительно, правильнее как науку практическую, поскольку большинству людей (не-математиков) она нужна именно в таком качестве. Вместе с тем, математик как ученый не должен сознательно ограничивать свою фантазию и степень абстрактности своих рассуждений, а тем более не имеет права ограничивать этого у других.
no subject
И каким же местом я ограничил Вашу фантазию? Фантазируйте сколько угодно, только не говорите мне, что это полезно. Один мой сокурсник считал ручки и дырки (или луночки?) на каких-то многообразиях. При этом он был уверен - что сие и есть передний край науки. На вопрос "на хрена?" Он отвечал, что мы - практики - не сможет оценить то, что предстоить оценить грядущим поколениям. Он понятия не имел, для чего он это делает и чего желает добиться. Ну и Бога с ним! Кто-то считает ручки, кто-то ищет смысл жизни. Кто-то ляпунов, а кто-то гоша, известный только жене и детям. Ляпунов решал трудные проблемы, а Гоша "двигал науку". Кого из-них мы помним?
no subject
И не надо все принимать на свой счет. Я имела в виду позицию Арнольда. Сам он мужик хороший, хоть и слегка чокнутый. ;) Но идеями его могут воспользоваться не такие хорошие. Как это вышло в свое время с генетикой. Когда товарищ Лысенко в своей избе-лаборатории решал насущные проблемы сельского хозяйства, а всякие там вейсманисты-морганисты возились с мухами-дрозофилами и рассуждали о генах, которых никто не видел.
А что касается ручек и дырок на многообразиях, это может пригодиться, например, если человечество будет осваивать путешествия в гиперпространстве. Так называемые "червоточины" или "кротовые норы" уже обсуждаются в современной физике.
В математике есть два вида задач, по своему происхождению - одни приходят извне ("приезжие"), другие логически вызревают внутри ("местные"). Собственно, и "местные" являются потомками "приезжих" в каком-то там колене, хоть по ним это уже может и не скажешь. ;) И те, и другие заслуживают внимания ученых. Ставить однозначно одних выше других, провоцировать конфликты в науке - так же плохо, как и по жизни.
no subject
Математик - да, может работать над совершенно непрактичной, абстрактной проблемой, которая потом как бы случайно получает применение. Но в этом деле математика получила добрую репутацию. То есть, действительно, регулярно так происходит, что непрактичные наработки получают серьезную практическую пользу. За это можно закрыть глаза на какой-то процент работ, которые применения так и не получают и забываются.
А с философией - иначе. Здесь вопросы ставятся и какие-то ответы даются, но вот с практическим применением - туго. В смысле репутации философия на одном уровне с астрологией. Надо очень долго искать хоть что-нибудь, имеющее практический выход. Как правило в таких поисках мы натыкаемся либо на достижения других наук (к которым философия пытается примазаться), либо на какие-то тривиальные вещи, которые и без философии были известны очень многим.
Причина такого различия, мне кажется, заключается в строгости. Математики соблюдают дисциплину ума, все их рассуждения идут по таким методам, которые позволяют сделать однозначное заключение: правильное это рассуждение или нет. Два математика приходят к одному выводу. Такие строгие мысленные конструкции оказываются полезными и нематематикам. А философ может начать с какой-то отправной точки, прийти к чему угодно, и никто ему не докажет, что он неправ (и он никому не докажет, что прав). Такие аморфные конструкции бесполезны.
Вы затронули вопрос RSA.
Re: Вы затронули вопрос RSA.
5435468975431638735546794548764946151546464545784946452134679868
4178941765198879489634531453489831798412978421798421678412789412
9784129784129698761895678517695671987648127966548744615654885485
7659873459265012756028374560283756023875623807456028375601239860
28734650287345629857503876
Результат опубликуйте.
Поверьте, в криптографии используются гораздо больше числа, порядка 2^1024.
А вообще, "беда, коль сапоги начнет тачать пирожник".
Re: Вы затронули вопрос RSA.
Re: Вы затронули вопрос RSA.
Re: Вы затронули вопрос RSA.
Известный криптоаналитик Брюс Шнайер писал, что в детстве он придумал алгоритм "самый лучший" алгоритм шифрования, оказавшийся тривиальным сдвигом по алфавиту. Тривиально взламывается. Но то было в детстве.
Так что, у меня не просто скепсис, у меня полная уверенность в совершенной никчемности Вашего изобретения. Интересно, что Вам из "Кванта" ответят...