Дождался!

[waspagv]

Наконец-то мои школьники задали вопрос: почему в геометрии все начинается с аксиом, а в алгебре никаких аксиом нет, одни правила? Объяснил, что это недостаток не алгебры, а ее преподавания. Конечно, в первом классе об аксиомах говорить не стоит, иначе получится "эффект Бурбаки", но в седьмом, когда в курсе геометрии появляется аксиоматика, можно бы рассказать о такой же и в арифметике и даже алгебре.

Для примера рассказал об аксиомах Пеано для натуральных чисел и показал, как из них вывести известные правила: ассоциативность и коммутативность (от перемены мест слагаемых сумма не меняется). Попутно выяснилось, что примерно треть школьников знают слова "ассоциативность" и "коммутативность", а остальные говорят "сочетательный закон" и "переместительный закон". Тех, которые вообще ничего подобного не знают, у меня нет: факультатив все-таки, никого насильно не загоняю.

Теперь думаю, рассказать ли о теоремах Гёделя, или это уже слишком сложно для школы?

Comments

[alisa-lebovski.livejournal.com]

Может, и не очень сложно, если рассказывать через компьютерную интерпретацию.
Но есть психологический момент - разочарование в возможностях науки. Ведь "школьная" парадигма в том, что наука знает и может все на свете. ;)
Кстати, вот статья о Геделе и его теоремах (http://elementy.ru/lib/430446).

[waspagv.livejournal.com]

Спасибо, прочитал. Рассказывать школьникам не буду. Не из-за того, конечно, что боюсь подорвать их веру в могущество науки, а потому что не умеют они пока мыслить достаточно абстрактно. Скажем, счетные и несчетные множества еще различают, а вот то, что среди несчетных бывают множества разной мощности, и эти мощности можно сравнивать, не понимают. Поэтому парадокс Рассела для них - пустой звук. А его аналоги типа мэра города мэров, или цирюльника, который бреет всех, кто не бреется сам, никак не ассоциируются с математикой. Я сам пришел к этому поздно. В школе с удовольствием читал книгу А.В. Погорелова "Геометрия". Раздел "Аналитическая геометрия" зашел легко, "Дифференциальная геометрия" гораздо сложнее. А вот когда автор стал рассуждать о непротиворечивости и полноте аксиом, не понял, для чего он это делает. И только после теории множеств и абстракной алгебры в университете пришло понимание. Не буду пока сваливать на головы детей такие проблемы.

[alisa-lebovski.livejournal.com]

А нужно ли тут мыслить слишком абстрактно? В компьютерной интерпретации теоремы Геделя сводятся к тому, что нельзя написать программу, которая бы проверила, завершится ли другая программа, и к тому, что нельзя написать программу, которая бы проверила, завершится ли она сама. Нынешние дети, от горшка знакомые с компьютером, по-моему, вполне способны это понять.

[waspagv.livejournal.com]

Знаменитая проблема самоприменимости? В том то и дело, что школьникам излишняя абстракция вредна. Детишки у меня про комьютер знают только то, что там можно круто поиграться. Да и не могу я от геометрии вдруг прыгнуть на программирование. Я себе такой план набросал для уроков: аксиомы геометрии, интересные теоремы (например, Чевы), решение сложных задач на построение, сферическая геометрия (без тригонометрии). Еще хочу построить аналитическую геометрию на аксиоматической основе (как в "Лекциях" Постникова, только азы, конечно), а затем "опустить" ее к школьному учебнику. Как либо обсуждать проблемы полноты и непротиворечивости даже не собирался. Бес попутал. :)

[m2b.livejournal.com]

Поздравляю!

Хочу спросить: что значит у вас выражение "эффект Бурбаки"?

[waspagv.livejournal.com]

Есть анекдот, рассказанный где-то Арнольдом. Французского первоклассника спросили: "Сколько будет один плюс два?" А тот ответил: "Поскольку сложение коммутативно, будет ровно столько же, сколько два плюс один". Т.е. он знал свойство операции "плюс", но складывать не умел.