09/07/2013 10:12
Простейший случай
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
waspagvОднажды я сдавал экзамен В.В. Иванову. Пока студенты готовились, Иванов беседовал с Грачевым о работе, которую последний недавно закончил. Грачев долго излагал какую-то теорию а затем сказал: "Потом я рассмотрел простейший случай". В моей памяти тут же всплыл простейший случай коня - сферический конь в вакууме.
Конечно, я не знаю, что конкретно делал Грачев. Возможно, в его работе простейший случай - вовсе не дутая абстракция. Но часто разработка простейшего случая вредна, ибо отвлекает от поиска других, куда более полезных. Приведу примеры из небесной механики, причем обоих видов: о пользе простейшего случая и о вреде его.
Как известно, простейшим случаем движения планет (если их больше одной, разумеется) является кеплеровское движение. Задача двух тел (фактически - двух материальных точек) имеет точное решение и весьма простое. И эта простота весьма заманчива для выбора этой задачи (и ее решения) как начального приближения для решения задач более сложных.
Например, планетная задача N тел. Напомню, что под этим названием понимается задача о движении N материальных точек при выполнении следующих условий: а) одно из тел имеет массу, значительно (в сотни раз) превосходящую суммарную массу прочих тел; б) все тела (кроме доминирующего) движутся вокруг общего центра масс (почти совпадающего с центром доминирующего тела) по орбитам, близким к круговым; в) плоскости этих орбит мало наклонены друг к другу; г) не бывает тесных сближений планет друг с другом. При этих условиях движение каждого дела не сильно отличается от кеплеровского по отношению к доминирующему (центральному) телу. И для описания этого движения с высокой точностью можно применять математические методы теории возмущений. Это было с успехом проделано еще в XIX в.: фамилии Леверье и Ньюкома известны каждому астроному. Пример, когда простейший случай оказался полезен при решении реальных задач.
Но есть и другие примеры. Например, движение Луны. Тут условия планетной задачи не выполняются, поскольку Луна находится в непосредственной близости от Земли. Рассматривать же, хоть и в первом приближении, орбиту Луны как кеплеровскую вокруг Земли оказалось контрпродуктивно. Далекое, но массивное Солнце столь сильно влияет на это движение, что от эллипса остаются одни мечты. Конечно, попытки использовать эллипс в качестве начального приближения были. Например, теория Делоне. Но точность ее оказалась недостаточна. Некоторые другие теории тоже не имели успеха. Прорыв случился в конце XIX в., когда Джордж Хилл плюнул на простейший случай и рассмотрел более сложный, получивший потом название "задача Хилла". А Эрнест Браун принял решение задачи Хилла за начальное приближение своей лунной теории. Теория Хилла-Брауна использовалась (с последующими улучшениями) вплоть до 80-х гг. XX в., когда ее заменили численные решения, полученные на компьютерах.
Второй пример, где простейший случай не был особо полезен, - это движение искусственных спутников Земли (ИСЗ). Расстояние ИСЗ от нашей планеты не настолько большое, чтобы Землю можно было считать материальной точкой. Земля - большое тело со сложным гравитационным полем. Выбор в качестве опорной орбиты для спутника кеплеровского эллипса приводит к тому, что отклонения от него (возмущения), становятся огромными, а их теоретические вычисления - чрезвычайно трудоемким, если вообще возможным. В 1968 году В.Г. Дёмин в монографии "Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения" рассмотрел обобщение давно известной задачи двух неподвижных центров, точно разрешимой в эллиптических функциях. Демин и его коллеги использовали движение в поле двух неподвижных комплексно-сопряженным масс как начальное приближение в решении задачи о движении ИСЗ. Возмущения этой задачи оказались существенно меньше и вполне обозримыми. Сейчас, правда, элегантная идея вытеснена из практики грубой силой: численными расчетами.
Конечно, я не знаю, что конкретно делал Грачев. Возможно, в его работе простейший случай - вовсе не дутая абстракция. Но часто разработка простейшего случая вредна, ибо отвлекает от поиска других, куда более полезных. Приведу примеры из небесной механики, причем обоих видов: о пользе простейшего случая и о вреде его.
Как известно, простейшим случаем движения планет (если их больше одной, разумеется) является кеплеровское движение. Задача двух тел (фактически - двух материальных точек) имеет точное решение и весьма простое. И эта простота весьма заманчива для выбора этой задачи (и ее решения) как начального приближения для решения задач более сложных.
Например, планетная задача N тел. Напомню, что под этим названием понимается задача о движении N материальных точек при выполнении следующих условий: а) одно из тел имеет массу, значительно (в сотни раз) превосходящую суммарную массу прочих тел; б) все тела (кроме доминирующего) движутся вокруг общего центра масс (почти совпадающего с центром доминирующего тела) по орбитам, близким к круговым; в) плоскости этих орбит мало наклонены друг к другу; г) не бывает тесных сближений планет друг с другом. При этих условиях движение каждого дела не сильно отличается от кеплеровского по отношению к доминирующему (центральному) телу. И для описания этого движения с высокой точностью можно применять математические методы теории возмущений. Это было с успехом проделано еще в XIX в.: фамилии Леверье и Ньюкома известны каждому астроному. Пример, когда простейший случай оказался полезен при решении реальных задач.
Но есть и другие примеры. Например, движение Луны. Тут условия планетной задачи не выполняются, поскольку Луна находится в непосредственной близости от Земли. Рассматривать же, хоть и в первом приближении, орбиту Луны как кеплеровскую вокруг Земли оказалось контрпродуктивно. Далекое, но массивное Солнце столь сильно влияет на это движение, что от эллипса остаются одни мечты. Конечно, попытки использовать эллипс в качестве начального приближения были. Например, теория Делоне. Но точность ее оказалась недостаточна. Некоторые другие теории тоже не имели успеха. Прорыв случился в конце XIX в., когда Джордж Хилл плюнул на простейший случай и рассмотрел более сложный, получивший потом название "задача Хилла". А Эрнест Браун принял решение задачи Хилла за начальное приближение своей лунной теории. Теория Хилла-Брауна использовалась (с последующими улучшениями) вплоть до 80-х гг. XX в., когда ее заменили численные решения, полученные на компьютерах.
Второй пример, где простейший случай не был особо полезен, - это движение искусственных спутников Земли (ИСЗ). Расстояние ИСЗ от нашей планеты не настолько большое, чтобы Землю можно было считать материальной точкой. Земля - большое тело со сложным гравитационным полем. Выбор в качестве опорной орбиты для спутника кеплеровского эллипса приводит к тому, что отклонения от него (возмущения), становятся огромными, а их теоретические вычисления - чрезвычайно трудоемким, если вообще возможным. В 1968 году В.Г. Дёмин в монографии "Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения" рассмотрел обобщение давно известной задачи двух неподвижных центров, точно разрешимой в эллиптических функциях. Демин и его коллеги использовали движение в поле двух неподвижных комплексно-сопряженным масс как начальное приближение в решении задачи о движении ИСЗ. Возмущения этой задачи оказались существенно меньше и вполне обозримыми. Сейчас, правда, элегантная идея вытеснена из практики грубой силой: численными расчетами.
Tags: