Советские школьники и бесконечно малые величины

Читаю юбилейный сборник к 350-летию со дня рождения Ньютона. Сборник издан в далеком 1943 году. Шла война, а Академия наук издавала книгу памяти великого ученого.

Мое внимание привлекла статья С.Я. Лурье о предшественниках Ньютона в создании исчисления бесконечно малых. Даже сейчас большинство студентов-математиков просто заучивают соответствующий раздел математического анализа, не тратя время на понимание основополагающих вещей. Что такое бесконечно малая? Как может сумма бесконечно малых величин иметь конечное ненулевое значение? Наконец, что есть предел отношения бесконечно малых величин?

Бонавентура Кавальери потратил жизнь на уяснение этих понятий, но так до конца и не понял их. В самом деле, допустим есть две величины, стремящиеся к нулю. Но отношение этих величин всегда конечное число. А каким будет «последнее отношение», т.е. отношение этих величин, когда они достигнут нуля, выражаясь современным языком, каков будет предел? Ведь когда они обратятся в нуль, такого отношения не будет вовсе, ибо делить на нуль нельзя. С другой стороны, любое отношение этих величин до того, как они обратятся в нуль, еще не будет последним. Кавальери решил парадокс тем, что ввел в употребление неделимые величины. По его мнению, чистого нуля быть не может, есть очень малые величины, уменьшить которые уже нельзя. Их он и называл бесконечно малыми. Идея не нова: существование неделимых постулировал еще Демокрит и его последователи. Но учение Демокрита не могло существовать в христианской Европе из-за негативного отношения церкви (Лурье не пишет, почему для святых отцов атомизм оказался неприемлемым). Поэтому Кавальери стоял на точке зрения так называемых «новых пифагорейцев», согласно которой неделимые существуют, но протяженные величины не состоят из них. Например, прямая содержит бесконечно много точек, но не состоит из них. Между точками есть промежутки – континуум. Искусственность построения смущала Кавальери, но преодолеть ее он не смог.

Ньютон сделал гигантский шаг вперед – ввел понятие предела. Пределом переменной величины называется такое значение, разность между которым и переменной величиной в некоторый момент становиться, а затем все время остается меньше любой наперед заданной величины. Это почти современное определение! Разница лишь в том, что Ньютон считал предел реально достижимым, т.е. термин «последнее отношение» он понимал буквально, как отношение величин, реально ставших равными нулю. Противоречие, таким образом, осталось, но для его преодоления нужно было сделать лишь небольшой шаг. Этот шаг сделал Огюстен Коши спустя полтора века. Конечно, Коши сделал не только это, его заслуги перед математикой огромны. Но в обсуждаемом вопросе Коши лишь отбросил требование достижимости предела, и все встало на свои места. Иными словами, отношение двух величин, каждая из которых стремиться к нулю, может стремиться к отличному от нуля пределу. Но не существует никаких значений этих величин, отношение которых реально равно предельному. [Строго говоря, это верно лишь при монотонном стремлении к пределу, а если стремление не монотонное, то некоторые частные значения могут дать предельное отношение, но лишь некоторые].

Все это весьма интересно само по себе. Но еще более споры вокруг бесконечных и неделимых становятся интересными в связи с проблемой интегрирования, т.е. суммирования бесконечного числа бесконечно малых величин. Нахождение объемов тел – как раз задача интегрирования. Но вспомните Евклида и его «Начала». Геометры древности находили объемы весьма сложных тел, не прибегая к интегрированию вообще. Таким образом, они обходили проблему бесконечно малых. Как такое возможно? Ответ: методом исчерпывания. Скажем, нужно найти длину окружности. Мы можем найти периметр многоугольника с конечным числом сторон: достаточно сложить длины всех сторон. Но окружность – не многоугольник. Давайте впишем многоугольник в окружность. Интуитивно ясно, что при бесконечном увеличении числа сторон многоугольник будет ближе и ближе подходить к окружности, а его периметр – к длине этой окружности. В пределе они сравняются. В пределе! Но Евклид не мог строго обосновать предельный переход, т.к. только Коши много столетий спустя сделал это. А геометрия – наука точная, интуитивные предположения должны быть доказаны. Поэтому Евклид идет другим путем. Он предполагает обратное, т.е. то, что многоугольник не приближается к окружности. Затем он хитрой цепочкой умозаключений приходит к выводу: предположение противоречит аксиомам геометрии. Следовательно, оно неверно, а верно противоположное заключение. Вот так!

И самое интересное. Некоторым советским школьникам повезло [сами школьники обычно так не считают, поскольку геометрия требует умственных усилий, а школьникам лень] изучать геометрию по учебнику А.В. Погорелова «Геометрия 6-10» (позже, при переходе на 11-летний курс средней школы, переименованный в «Геометрию 7-11»). Вспомните доказательство теоремы о том, что косинус угла зависит только от величины самого угла, но не от сторон треугольника? При доказательстве пришлось столкнуться со случаем несоизмеримости тех самых сторон. Рассмотреть соизмеримый случай и перейти к пределу нельзя, так как понятие предела рассматривалось в курсе алгебры и анализа много позже, а с некоторых пор вообще исключено из школьной программы. Поэтому автор учебника длинно и нудно доказывает «от противного», т.е. древним евклидовым методом. Здравствуй, XXI век!. А вот не в школьном учебнике тот же автор отходит от древнего процесса исчерпывания. В книге «Элементарная геометрия» Погорелов аналогичную теорему доказывает с помощью предельного перехода. Не удивительно, поскольку эта книга предназначена для студентов педвузов, с теорией пределов знакомых. А вот объемы тел даже в школьном учебнике Погорелов находит интегрированием. Во-первых, меньше писанины, а во-вторых, когда дело доходит до объемов, школьники, по идее, должны уже усвоить понятие интеграла.