Физика для математиков

Готовлюсь в будущем учебном году вести у школьников факультатив по физике. Планирую существенно выйти за пределы школьной программы, в частности, ответить на те вопросы, которые сам задавал своим учителям и на которые тогда не получил ответа. Попутно вспоминаю разные ситуации, возникавшие в ходе преподавания физики в университете.

Преподавал я математикам. Их мышления несколько отличается от мышления физиков. Например, определение дельта-функции, как функции, всюду, кроме нуля, равной нулю, в нуле - бесконечности, и интеграл от которой равен единице, их почему-то не устраивает. :)

Однажды, ко мне подошел студент с "Основным курсом теоретической механики" Бухгольца.

- Тут написано, - сказал он, - "элементарное перемещение", "вариации координат". А что такое элементарное перемещение? Как элементарное перемещение точки на ободе колеса может быть прямолинейным, если точка движется по окружности?

К счастью, я тоже по образу мышления математик, а не физик. Поэтому задавал себе такие же вопросы раньше и нашел на них ответы. Собственно, ответ один: автор учебника проявил небрежность. Он воспользовался понятием, для него и многих других интуитивно ясным. Но учебник отличается от сборника анекдотов именно тем, что он должен быть понятен независимо от интуиции читателя. Интуиция полезна при поиске решения задачи, а когда решение найдено, его следует изложить со всей формальной строгостью. Иначе другой человек с другой интуицией вам не поверит.

Николай Николаевич Бухгольц же, говоря об элементарном перемещении, имел в виду первый дифференциал функции, называемой в механике "радиус-вектор". В силу определения дифференциала, он не обязан быть малым. Но он определяется значением функции (т.е. координат) и скорости в данный момент. Т.е., элементарное перемещение точки, находящейся в данный момент времени на вершине колеса, катящегося по горизонтальному рельсу, направлено всегда горизонтально (ибо скорость этой точки в данный момент направлена горизонтально), а по величине может быть любым в рамках рассматриваемой задачи. Реальное же перемещение, даже очень малое, не горизонтально, поскольку определяется разностью радиусов-векторов точки в разные (пусть даже близкие) моменты времени.

Что же касается так называемых "виртуальных перемещений", то это так же дифференциалы радиусов-векторов точек системы, движение которых известным образом ограничено связями.

Ясное представление математической природы рассматриваемых объектов позволяет исключить много страниц болтовни о всяких "малых", "достаточно малых" и "столь малых, что можно пренебречь..." величинах. Например, когда в формулах встретится отношение "элементарного перемещения" к промежутку времени, можно заменить его скоростью без всяких словоблудий о бесконечно малых интервалах времени. Кстати, само понятие бесконечно малой величины, как известно любому математику, предполагает рассмотрение некоторой функции и ее предела (равного нулю). Поэтому говорить о бесконечно малом интервале времени, в то время как время - это аргумент большинства функций в механике (т.е. независимая переменная), просто бессмысленно. Дифференциал же времени имеет смысл.

К счастью, тот студент задал мне свой вопрос в самом начале семестра. Это позволило изменить первоначальный замысел курса лекций и сделать их намного более понятными для математиков.